DS n°4 de Mathématiques de Term S
13/03/2019
EXERCICE 1 5 pts
On note C l’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O;u ,⃗ ⃗v) . On prendra comme unité 2 carreau sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur la feuille de papier millimétré fournie page 5, et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe : f(z)=z2+2z+9.
1) Calculer l’image de −1+i
√
3 par la fonction f . 2) ● Résoudre dans C l’équation f(z)=5 .● Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
● Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l’affixe est solution de l’équation ( A étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.
3) Soit λ un nombre réel. On considère l’équation f(z)=λ d’inconnue z .
Déterminer l’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles l’équation f(z)=λ admet deux solutions complexes conjuguées.
4) Soit (F) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z vérifie
|
f(z)−8|
=3 .Prouver que (F) est le cercle de centre Ω(−1;0) et de rayon
√
3 .Tracer (F) sur le graphique.
5) Soit z un nombre complexe, tel que z=x+iy où x et y sont des nombres réels.
a) Montrer que la forme algébrique de f(z) est x2−y2+2x+9+i(2xy+2y).
b) On note (E) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe Z est telle que f(z) soit un nombre réel.
Montrer que (E) est la réunion de deux droites D1 et D2 dont on précisera les équations.
Compléter le graphique sur la feuille de papier millimétré en traçant ces droites.
Calculatrice autorisée : durée 4h
6) Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles (E) et (F) .
EXERCICE 2 5 pts
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O;u ,⃗ ⃗v) . On prendra pour unité graphique le centimètre.
1) Résoudre dans C l’équation
(
z2−2z+4)(
z2+4)
=0 .2) On considère les points A et B d’affixes respectives zA=1+i
√
3 et zB=2i . a) Écrire zA et zB sous forme exponentielle et justifier que les points A et Bsont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
b) Faire une figure sur la feuille de papier millimétré et placer les points A et B . c) Déterminer une mesure de l’angle (⃗OA ;⃗OB).
3) On note F le point d’affixe zF=zA+zB .
a) Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
b) En déduire une mesure de l’angle (⃗OA ;⃗OF) puis de l’angle (u ;⃗ ⃗OF) . c) Calculer le module de zF et en déduire l’écriture de zF sous forme
trigonométrique.
d) En déduire la valeur exacte de : cos
(
512π)
.4) Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l’une : cos
(
512π)
=√
2−2√
3Et pour l’autre :
cos
(
512π)
=√
6−4√
2.Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.
EXERCICE 3 5 pts
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé (O ;i ,⃗ ⃗j) , une courbeC et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0;1) et (-1 ; 3).
On désigne par f la fonction dérivable sur ℝ sont la courbe représentative estC.
On suppose, de plus, qu’il existe un réel a tel que pout tou réel x , f(x)=x+1+ax e−x2.
1)
a) Justifier que la courbeC passe par le point A .
b) Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB) . c) Démontrer que pour tout réel x ,
f'(x)=1−a
(
2x2−1)
e−x2.d) On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbeC au point A . Déterminer la valeur du réel a .
2) D’après la question précédente, pour tout réel x , f(x)=x+1−3x e−x2et f'(x)=1+3
(
2x2−1)
e−x2.a) Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle ¿−1;0¿ , f(x)>0 . b) Démontrer que pour tout réel x inférieur ou égale à −1 , f'(x)>0 . c) Démontrons qu’il existe un unique réel c de l’intervalle
[
−32 ;−1]
tel quef(c)=0 .
Justifier que c←3
2+2×10−2.
EXERCICE 4 5 pts
On considère la fonction f définie sur ¿
¿0;+∞¿ par :
f(x)=x2−2x−2−3 lnx
x .
1) Soit φ la fonction définie sur ¿
¿0;+∞¿ par : φ(x)=x2−1+3 lnx .
a) Calculer ¿
φ¿ 1) et la limite de φ en 0 . b)Étudier les variations de φ sur .
¿0;+∞¿
En déduire le signe de φ(x) suivant les valeurs de x . 2)
a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b) Montrer que sur ¿
¿0;+∞¿ : f'(x)=φ(x)
x2 .
En déduire le tableau de variation de f .
c) Prouver que l’équation f (x)=0 admet une unique solution α sur ¿
¿0;1¿ et une unique solution β sur ¿
¿1;+∞¿ .
On donnera, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de α et β à 10−2 près.
NOM Prénom : ……….
Zéro et un nombre complexe non nul font un débat.
Le nombre complexe finit par l’emporter. Il avait davantage d'arguments...
Bon courage !!!
NOM Prénom : ……….
