DS n°2 de Mathématiques Term S
Calculatrice autorisée - Durée 3h
EXERCICE 1 4 pts
On considère la suite (un) définie par :
{
un+1=2−u1 n pour tout entier naturel n ≥0u0=0et la suite (Sn) définie, pour tout n∈N , par : Sn=
∑
k=0 n
uk=u0+u1+…+un
Voici une copie d’écran d’un tableur à l’aide duquel on a calculé les premiers termes de ces deux suites. Les valeurs de (un) sont des valeurs exactes sous forme de fractions irréductibles alors que les valeurs de (Sn) sont des valeurs approchées à 10−9 près.
1) Quelles formules, étirées ensuite vers le bas, ont été écrites dans les cellules B3 et C3 pour obtenir les termes successifs (un) et (Sn) ?
2) a) A partir des valeurs du tableau, conjecturer, pour tout n∈N , l’expression explicite de un en fonction de n .
b) Démontrer cette conjecture par récurrence.
c) La suite (un) est-elle convergente ?
3) BONUS (si tout est fini….) : La suite (Sn) est-elle convergente ? 1
07/11/2018
EXERCICE 2 8 pts
On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. On note I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AD] .
1) a) Démontrer que les droites (IJ) et (FH) sont parallèles et que IJ=¿ 1
2 FH . b) En déduire que les droites (FI) et (HJ) sont sécantes en un point K .
c) Déterminer l’intersection des plans (ABF) et (ADH) et en déduire que K appartient à la droite (AE) .
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A ;⃗AB ,⃗AD ,⃗AE) . Ainsi les coordonnées des sommets du cube sont A(0;0;0), B(1;0;0),C(1;1;0), D(0;1;0), E(0;0;1), F(1;0;1),
G(1;1;1) et H(0;1;1) .
2) a) Calculer les coordonnées des points I et J .
b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FI) et une représentation paramétrique de la droite (HJ) .
c) En déduire que les coordonnées de K sont (0;0;−1) . d) Justifier que A est le milieu de [EK] .
3) On considère le milieu P de [FH] et le point L tel que ⃗LA+⃗LF+⃗LH=⃗0 . a) En utilisant le relation de Chasles, démontrer que ⃗LF+⃗LH=2⃗LP .
b) En déduire que ⃗AL=¿ 2
3 ⃗AP .
c) Calculer les coordonnées du point P et en déduire que les coordonnées de L sont
(
13;1 3;23
)
.d) Démontrer que le triangle ALC est rectangle en L .
4) a) Démontrer que les vecteurs ⃗KC ,⃗KG et ⃗KL sont coplanaires.
b) Que peut-on en déduire concernant les points C , G , K et L ? 2
EXERCICE 3 8 pts
On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère les points suivants : A(0;4;1), B(1;3;0),C(2;−1;−2) et D(7;−1;4). 1) Démontrer que les points A , B et C ne sont pas alignés.
2) Soit ∆ la droite passant par le point D et de vecteur directeur ⃗u
(
−123)
.a) Démontrer que la droite ∆ est orthogonale au plan (ABC) . b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC) . c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆.
d) Déterminer les coordonnées du point H intersection de la droite ∆ et du plan (ABC) .
3) Soit P1 le plan d’équation x+y+z=0 et P2 le plan d’équation x+4y+2=0 . a) Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants.
b) Vérifier que la droite d , intersection des plans P1 et P2 , a pour représentation paramétrique :
{
x=−4z=3y=ttt+2−2, t∈R .c) La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?
3
Qu'est-ce que deux droites confondues ? Réponse : deux droites qu'on a laissées trop longtemps
sur le radiateur.
Ih ih ih… Bon courage…..
