Partiel du 5 novembre 2013 durée : 3h. Sans documents et sans calculatrice

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2013-2014

Partiel du 5 novembre 2013

durée : 3h.

Sans documents et sans calculatrice Tous les calculs doivent être justiés

Exercice 1

On se place dans M _n pCq, espace vectoriel des matrices carrées de dimension n à coecients dans C.

Q. 1 Montrer que si A est hermitienne dénie positive, toutes ses valeurs propres sont réelles strictement pos- itives.

Q. 2 Soit D une matrice diagonale hermitienne dénie positive :

D

λ 1 0 0 0

0 λ 2 0 0

0 0 ... 0

0 0 0 λ _n

Montrer qu'il existe une unique matrice diagonale C hermitienne dénie positive telle que D C ² . Donner explicitement C.

On pose dans toute la suite ? D C.

On veut maintenant montrer que la racine carrée de D est unique.

On admet qu'une matrice hermitienne dénie positive F peut s'écrire sous la forme F BB où B est une matrice triangulaire inférieure à éléments diagonaux strictement positifs.

Q. 3 Soit K une matrice hermitienne dénie positive telle que K ² D.

1. Montrer qu'il existe une matrice B triangulaire inférieure à éléments diagonaux strictement positifs telle que K K BB .

2. En déduire que K s'écrit sous la forme K QR, avec R triangulaire supérieure à éléments diagonaux

strictement positifs et Q unitaire.

Q. 4 Montrer que R R D. En déduire que R ? D.

Q. 5 Montrer que toutes les valeurs propres d'une matrice unitaire sont de module 1.

Q. 6 Montrer que toutes les valeurs propres de Q sont égales à 1 (on considèrera une valeur propre de Q et un vecteur propre associé).

Q. 7 En déduire qu'il existe une unique matrice hermitienne dénie positive K telle que K ² D.

Q. 8 Soit maintenant P une matrice hermitienne dénie positive quelconque.

Montrer qu'il existe une matrice hermitienne dénie positive H telle que H ² P et qu'une telle matrice est

unique.

1

Exercice 2

On dénit A ^{p n q} P M n pRq par

a ^p _i,i ^{n q} ₁ a ^p _i ^{n q} _1,i 1, @ i P v 1, n 1 w a ^p _ii ^{n q} 2, @ i P v 1, n w a ^p _ij ^{n q} 0, sinon.

Q. 1 On note P n p λ q le polynôme caractéristique de la matrice A ^{p n q} 1. Montrer que

P _n p λ q p λ 2 q P _{n 1} p λ q P _{n 2} p λ q (2.1) 2. En eectuant le changement de variable λ 2 2 cos θ établir que

P _n p λ q sin pp n 1 q θ q

sin θ . (2.2)

3. En déduire les valeurs propres de A ^{p n q}

Soit I la matrice unité de M n pRq . On considère, dans M n

pRq , les matrices blocs suivantes :

B

A ^{p n q} 0 0 0 A ^{p n q} ... ...

... ... ... 0 0 0 A ^{p n q}

et C

2 I I 0 0

I 2 I I ... ...

0 I ... ... 0

... ... ... ... I

0 0 I 2 I

Q. 2 On suppose que les valeurs propres p λ i q _{i Pv 1,n w} de A ^{p n q} sont toutes distinctes. Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de B et C en fonction de ceux de A ^{p n q} (sans calculer explicitement les espaces

propres de A ^{p n q} ).

Exercice 3

Soit A P M n,n pCq une matrice hermitienne inversible décomposée en A M N où M est inversible. On note B I M ¹ A .

Q. 1 Montrer que la matrice M N est hermitienne.

On suppose maintenant que M N est dénie positive.

Q. 2 Soit x x x un vecteur quelconque de C ⁿ et y y y B x x x.

1. Montrer que

x x x x, A x x x y x y y y, A y y y y @

x x x, AM ¹ A x x x D @

M ¹ A x x x, A x x x D @

M ¹ A x x x, AM ¹ A x x x D

(3.1) et

x

x x y y y M ¹ A x x x. (3.2)

2. En déduire que

x x x x, A x x x y x y y y, A y y y y xp x x x y y y q , pM Nqp x x x y y y qy . (3.3)

Q. 3 Montrer que si A est dénie positive alors ρ pBq   1.

Q. 4 Démontrer par l'absurde que si ρ pBq   1 alors A est dénie positive.

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