DS n°4 de Mathématiques SPÉ Maths de Term S13/03/2019E

DS n°4 de Mathématiques SPÉ Maths de Term S

13/03/2019

EXERCICE 1 ^{5 pts}

On note C l’ensemble des nombres complexes.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O;u ,⃗ ⃗v) . On prendra comme unité 2 carreau sur chaque axe.

Le graphique sera fait sur la feuille de papier millimétré fournie page 5, et complété au fur et à mesure des questions.

On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe : f(z)=z²+2z+9.

1) Calculer l’image de −1+i

√

● Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

● Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l’affixe est solution de l’équation ( A étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).

On laissera les traits de construction apparents.

3) Soit λ un nombre réel. On considère l’équation f(z)=λ d’inconnue z .

Déterminer l’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles l’équation f(z)=λ admet deux solutions complexes conjuguées.

4) Soit (F) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z vérifie

|

|

Prouver que (F) est le cercle de centre Ω(−1;0) et de rayon

√

Tracer (F) sur le graphique.

5) Soit z un nombre complexe, tel que z=x+iy où x et y sont des nombres réels.

a) Montrer que la forme algébrique de f(z) est x²−y²+2x+9+i(2xy+2y).

b) On note (E) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe Z est telle que f(z) soit un nombre réel.

Montrer que (E) est la réunion de deux droites D₁ et D₂ dont on précisera les équations.

Compléter le graphique sur la feuille de papier millimétré en traçant ces droites.

Calculatrice autorisée : durée 4h

6) Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles (E) et (F) .

EXERCICE 2 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O;u ,⃗ ⃗v) . On prendra pour unité graphique le centimètre.

1) Résoudre dans C l’équation

(

)(

)

2) On considère les points A et B d’affixes respectives z_A=1+i

√

sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.

b) Faire une figure sur la feuille de papier millimétré et placer les points A et B . c) Déterminer une mesure de l’angle (^⃗OA ;⃗OB).

3) On note F le point d’affixe z_F=z_A+z_B .

a) Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.

b) En déduire une mesure de l’angle (^⃗OA ;⃗OF) puis de l’angle (u ;⃗ ⃗OF) . c) Calculer le module de ^zF et en déduire l’écriture de ^zF sous forme

trigonométrique.

d) En déduire la valeur exacte de : cos

(

)

4) Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l’une : cos

(

)

^√

^√

Et pour l’autre :

cos

(

)

^√

^√

Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.

EXERCICE 3 ^{5 pts}

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé (O ;i ,⃗ ⃗j) , une courbeC et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0;1) et (-1 ; 3).

On désigne par f la fonction dérivable sur ℝ sont la courbe représentative estC.

On suppose, de plus, qu’il existe un réel a tel que pout tou réel x , f(x)=x+1+ax e^−x2.

1)

a) Justifier que la courbeC passe par le point A .

b) Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB) . c) Démontrer que pour tout réel x ,

f^'(x)=1−a

(

)

d) On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbeC au point A . Déterminer la valeur du réel a .

2) D’après la question précédente, pour tout réel x , f(x)=x+1−3x e^−x2et f^'(x)=1+3

(

)

a) Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle ¿−1;0¿ , f(x)>0 . b) Démontrer que pour tout réel x inférieur ou égale à −1 , f^'(x)>0 . c) Démontrons qu’il existe un unique réel c de l’intervalle

[

]

f(c)=0 .

Justifier que c←3

2+2×10⁻².

EXERCICE 4 5 pts

L’objet du problème est l’étude d’une méthode cryptage dite « Chiffrement de Hill », dans un cas

particulier. Cette méthode nécessite une matrice de la forme

(

)

Cette matrice est connue seulement de l’émetteur du destinataire.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : quelques résultats.

1) On considère l’équation (E):9d−26m=1 où d et m désignent deux entiers relatifs.

a) Justifier l’existence d’un couple vérifiant (E) . Donner, sans justifier, une solution simple de cette équation ? de sorte que d et m soient des nombres entiers compris entre 0 et 3 .

b) Démontrer que le couple (d ;m) est solution de l’équation (E) si et seulement si : 9(d−3)=26(m−1).

c) En déduire que les solutions de l’équation (E) sont les nombres entiers relatifs de la forme :

{

a) Soit n un nombre entier. Démontrer que si n=26k−1 , avec k entier relatif, alors n et 26 sont premiers entre eux.

b) En déduire que les nombres 9d−28 , avec d=26k+3 et k∈Z , sont premiers avec 26.

Partie B : cryptage et décryptage.

On considère la matrice A=

(

)

On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres.

(

)

1) En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les lettres « ES », crypter le mot « ESPION ».

2) Méthode de décryptage

Notation : Lorsqu’on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation « ≡ » pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire :

(

)

(

)

Soient a , b , x , y , x^'et y ' des nombres entiers relatifs.

On sait que si x ≡ x^'modulo26 et y ≡ y^'modulo26 alors : ax+by ≡a x^'+b y^'modulo26.

Ce résultat permet d’écrire que, si A est une matrice 2×2 , et B et C sont deux matrices colonnes 2×1 , alors :

B ≡ C modulo26implique AB ≡ AC modulo26.

1) Établir que la matrice A est inversible, puis déterminer son inverse avec la calculatrice.

2) Décrypter le mot : XQGY.

NOM Prénom : ……….

Zéro et un nombre complexe non nul font un débat.

Le nombre complexe finit par l’emporter. Il avait davantage d'arguments...

Bon courage !!!

NOM Prénom : ……….