DS de Mathématiques de Term S 24 janvier 2018D

DS de Mathématiques de Term S

24 janvier 2018 DURÉE : 3 H – CALCULATRICEAUTORISÉE – DEVOIR NOTÉSUR 40 POINTS

EXERCICE 1 ^{8 pts}

Soit la fonction ^f définie sur l’intervalle ^{I=[O ;π]} par : f(x)=xcos(x)−sin⁡(x)

1) Calculer f '(x) .

2) Tracer le tableau de variation de f sur l’intervalle I=[O ;π] .

3) Montrer que l’équation f(x)=−1 possède une unique solution α sur I .

EXERCICE 2 ^{1 pt}

Simplifier les expressions données pour tout réel x : 1−e

(¿¿−x)×(e^x+1)+2e^−xb a¿ ¿e^−3+x

e^x+1 EXERCICE 3 6 pts

1) Résoudre dans R les équations proposées : a¿e^−x²=e^2x+1b¿

(

) (

)

a¿e^x+7≤ e^2x−4b¿ e^x−1 e^3x−5>0 EXERCICE 4 2 pts

Calculer les limites suivantes : lim

x →+∞

(x−e^x) lim

x →−∞

(e^x+e^−x) e^x−e^−x

EXERCICE 5 ^{5 pts}

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions données par leur expression f(x) sans se soucier du domaine de dérivabilité :

a¿f(x)=(−x+1)e^3xb¿f(x)=e^3x²−2x+1 1

c¿f(x)=e^3x−1

e^3x+1d¿f(x)=x e^x² EXERCICE 6 ^{6 pts}

Soit f la fonctiondéfinie sur R par f(x)=

(

)

1) On note f ' la dérivée de la fonction f . a) Calculer f '(x) .

b) Etudier le signe de f '(x) en fonction des valeurs de x . c) Dresser le tableau des variations de f .

2) Montrer que l’équation f(x)=40 admet une unique solution α dans l’intervalle

[2;3] .

A l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à 10⁻² près de α .

EXERCICE 7 12 pts

Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle ^ATB le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l’angle ^ATB est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m. On note α la mesure en radian de l’angle ^ETA , ^β la mesure en radian de l’angle ^ETB et ^γ la mesure en radian de l’angle ^ATB .

2

1) En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tanα et tanβ en fonction de x .

La fonction tangente est définie sur l’intervalle

¿

¿0;π

2¿ par tanx=¿ sinx cosx .

2) Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle

¿

¿0;π 2¿ .

3) L’angle ^ATB admet une mesure γ appartenant à l’intervalle

¿

¿0;π

2¿ , résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle

¿

¿0;π 2¿ , tan(a−b)= tana−tanb

1+tana ×tanb. Montrer quetanγ= 5,6x

x²+765.

4) L’angle ^ATB est maximum lorsque sa mesure ^γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ¿0;50¿ ¿ de la fonction f définie par :

f(x)=x+765 x .

Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle ^ATB est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle ^ATB à 0,01 radian près.

3

Cosinus et Exponentielle font la fête. Cosinus boit, fume et a une gueule de bois comme jamais le lendemain. Quand Exponentielle l'interroge sur son comportement, Cosinus répond : "Désolé, vieux, mais je ne connais pas mes limites !"

En ce qui vous concerne, connaissez les vôtres, et faites le maximum… Bon courage à vous…