DS de Mathématiques de Term S 14 mars 2018D

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DS de Mathématiques de Term S

14 mars 2018 DURÉE : 4 H – CALCULATRICEAUTORISÉE

EXERCICE 1 ^{7 pts}

Soit v=(v_n)_{n ≥}₀ une suite.

On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u_n=e^−vⁿ+1 . Partie A

Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est exacte. Pour chacune des questions, donner sans justification, la bonne réponse sur votre copie. Une bonne réponse donne un point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point et l’absence de réponse est comptée 0 point.

Tout total négatif est ramené à zéro.

1) a est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme népérien. Si ^v0=lna alors :

a¿u₀=1

a+1b¿u₀= 1

1+ac¿u₀=−a+1d¿u₀=e^−a+1 2) Si v est strictement croissante, alors :

a) u est strictement décroissante et majorée par 2.

b) u est strictement croissante et minorée par 1.

c) u est strictement croissante et majorée par 2.

d) u est strictement décroissante et minorée par 1.

3) Si v diverge vers +∞ , alors : a) u converge vers 2.

b) u diverge vers +∞ . c) u converge vers 1.

d) u converge vers un réel l tel que l>1 .

4) Si v est majorée par 2, alors : a) u est majorée par 1+e⁻² .

(2)

b) u est minorée par 1+e⁻² . c) u est majorée par 1+e² . d) u est minorée par _1+e² . Partie B

Démontrer que pour tout entier naturel non nul, on a ln

(

^un

)

⁺^vn>0.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué 1,5 points par réponse exacte correctement justifiée.

Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1) Soit f et g les fonctions définies sur R par : f(x)=sin ²x et g(x)=1+cos ²x

Proposition 1 f '(x)=−g '(x)

par g(x)=2xln(2x+1).

2¿g est la fonctiondéfinie sur¿−1 2;+∞¿ Proposition 2

, l^'équation g(x)=2x a une unique solution:e−1 2 . Sur¿−1

2;+∞¿

Proposition 3

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction

g au point d’abscisse 1

2 est : 1+ln 4 .

3) Soit f la fonction définie sur ¿

¿0;+∞¿ par : f(x)=ln2e^x+1

e^x−1

(3)

Proposition 4 f '(x)= −3e^x

(

2e^x+1

) (

e^x−1

)

Proposition 5 x

f(¿)=2 lim

x →+∞

¿

4) Soit l’équation e²^x−3e^x−4=0 Proposition 6

Cette équation admet deux solutions distinctes dans R . EXERCICE 3 9 pts

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué 1,5 points par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.

1) On considère le plan P d’équation x−y+3z+1=0 et la droite D dont une représentation paramétrique est :

{

^z⁼⁻⁵⁺³^y=1+t^x=2^t ^t^{, t}^∈^{R .}

On donne les points A(1;1;0), B(3;0;−1) et C(7;1;−2) . Proposition 1

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est

{

^x=5−2t^z^y=−1+^=−2+t^t^{, t}^∈^{R .}

Proposition 2

Les droites D et (AB) sont orthogonales.

Proposition 3

Les droites D et (AB) sont coplanaires.

Proposition 4

(4)

La droite D coupe le plan P au point E de coordonnées (8;−3;−4) . Proposition 5

Les plans P et (ABC) sont parallèles.

2) L’espace est muni d’un repère orthonormé

(

O ;⃗i,⃗j ,⃗k

)

.

P et R sont les plans d’équations respectives : 2x+3y−z−11=0 et x+y+5z−11=0

Proposition 6

Les plans P et R se coupent perpendiculairement.

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x)=x−ln

(

x²+1

)

.

1) Résoudre dans ℝ l’équation : f(x)=x .

2) Dresser le tableau des variations de la fonction f en justifiant les limites en −∞ et +∞ . 3) Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0;1] , f(x) appartient à [0;1] .

4) On considère deux entiers naturels N et A . On demande à l’utilisateur de saisir la valeur de A .

On considère l’algorithme suivant : 0→ N

Tant que N−ln

(

N²+1

)

<A N+1→ N

Fin Tant que Afficher N a) Que fait cet algorithme ?

b) Déterminer la valeur N fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100 .

(5)

Partie B

Soit (u_n) la suite définie par ^u0=1 et, pour tout entier naturel n , u_n+1=u_n−ln⁡(u²_n+1) . 1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , ^un appartient à ^[0;1] . 2) Étudier les variations de la suite (un) .

3) Montrer que la suite (u_n) est convergente.

4) On note l sa limite, et on admet que l vérifie l’égalité f(l)=l . En déduire la valeur de l .

Petite blagounette : 1) Je me réveille ; 2) Je vais à l’école ;

3) J’ai un bulletin avec 19 de moyenne ; 4) Mon père me félicite.

BON, le vrai ordre c’est : 2 ;3 ;4 ;1.