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ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Surveillé 5 - durée : 4h 13 avril 2013 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Exercice I.

On considère les matrices A=

4 −2 3 −1

, P = 1 2

1 3

, Q=

3 −2

−1 1

et D= 2 0

0 1

. 1. Vérier que Q=P⁻¹, puis que A=P DQ.

2. En utilisant pour chacun de ces points un raisonnement par récurrence, montrer que : a. ∀n∈N, Dⁿ=

2ⁿ 0 0 1

. b. ∀n∈N, Aⁿ=P DⁿQ.

3. En déduire que ∀n∈N, Aⁿ=

3×2ⁿ−2 2−2ⁿ⁺¹ 3×2ⁿ−3 3−2ⁿ⁺¹

. 4. On considère deux suites uetw telles que

u₀= 1

w0 =−2 et ∀n∈N,

u_n+1= 4u_n−2w_n wn+1 = 3un−wn . On introduit la matrice Xn=

u_n wn

. a. Vérier que ∀n∈N, X_n+1 =AX_n. b. Montrer que ∀n∈N, X_n=AⁿX₀.

c. En déduire l'expression des suites (u_n)n∈Net(w_n)n∈N en fonction den.

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Exercice II.

On considère la fonction f dénie sur R^∗+ par f(x) = 2 x²

Z _x

0

t e^t+ 1dt. 1. a. Montrer que ∀x >0, ∀t∈[0;x], t

e^x+ 1 ≤ t e^t+ 1 ≤ t

2.

(Le résultat pourra éventuellement être obtenu à l'aide d'une succession d'encadrements.) b. Etablir alors que 1

e^x+ 1 ≤f(x)≤ 1 2.

(On intégrera, et on utilisera certaine(s) propriété(s) de l'intégrale, que l'on citera.) c. En déduire lim

x→0⁺f(x).

d. La fonction f est-elle prolongeable par continuité en 0? Justier.

2. On pose, pour x≥0, H(x) = Z x

0

t e^t+ 1dt. a. Montrer quef est de classeC¹ surR^∗₊. b. Vérier que ∀x >0, f⁰(x) =− 4

x³g(x),

avec g la fonction dénie surR+ par g(x) =H(x)− x² 2(e^x+ 1). c. Vérier que ∀x≥0, g⁰(x) = x²e^x

2(e^x+ 1)². d. Calculerg(0).

e. En déduire alors successivement les variations de g et le signe de g sur R+, puis le sens de variations de f surR^∗+.

3. a. Montrer que, pour tout réelt≥0, on a 0≤ t

e^t+ 1 ≤1. b. En intégrant, en déduire que ∀x >0, 0≤f(x)≤ 2

x. c. Calculer alors la limite def(x) lorsquex tend vers +∞.

2

Exercice III.

On considère la fonction f dénie sur R^∗+ par f(x) = 1 2

x+ 2

x

.

On considère la suite (un)n∈N dénie paru0 = 1 et ∀n∈N, un+1=f(un).

1. Montrer par récurrence que ∀n∈N, un≥1.

2. Déterminer la seule limite possible α pour la suite (un)n∈N. 3. Montrer que ∀x≥1, f⁰(x) = 1

2 − 1 x². 4. En déduire que ∀x≥1, |f⁰(x)| ≤ 1

2. 5. Montrer que ∀n∈N, |u_n+1−α| ≤ 1

2|u_n−α|. 6. En déduire que ∀n∈N, |u_n−α| ≤

1 2

n

|u₀−α|.

7. En déduire la convergence de la suite (un)n∈N et indiquer sa limite.

8. En utilisant ce qui précède, écrire un programme en langage Turbopascal permettant d'acher les 100premiers termes d'une suite (u_n)n∈N, de premier terme 1, qui converge vers√

2. Ce programme contiendra notamment une fonction : la fonctionf.

(On ne fera pas évidemment pas appel à la fonction prédénie sqrt.) 9. Déterminer la complexité du programme.

Exercice IV.

On donne e'2.7.

On considère l'application f dénie sur R+ par : f(x) =

xln(x)−x six6= 0 0 six= 0 1. Justier brièvement le fait que f est de classeC^∞ surR^∗₊.

2. Montrer que f est continue en0.

3. Déterminer la limite de f en +∞. 4. Dériver f surR^∗₊.

5. f est-elle dérivable en 0? Justier.

6. Dresser le tableau des variations de f.

7. Montrer que f est convexe surR+. 8. On noteΓ la courbe représentative def.

a. Montrer queΓadmet une demi-tangente verticale en l'origine.

b. Déterminer les points d'intersection de Γ avec l'axe des abscisses.

c. Préciser la nature de la branche innie deΓ. d. Tracer l'allure de Γ sur l'annexe.

9. Calculer I = Z 2

1

f(x)dx. (Une intégration par parties pourra être utile.)

3

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Annexe

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