 1  x  = 1 n  1

Corrigé Devoir maison n°3 I

1. lim

x1 2

-1−2x=0⁺, lim

x1 2

+1−2x=0^- et lim

x1 2

x−1=−1

2 , d'où lim

x1 2

- f x=−∞ et lim

x1 2

+ f x=∞

2. Remarque : on a −x²3x−2=−x−1x−2, d'où ^x−1

−x²3x−2= −1

x−2 et donc lim

x1

x−1

−x²3x−2=lim

x1− 1

x−2=1 lim

x2^-

x−2=0^-, lim

x2⁺

x−2=0⁺ d'où lim

x2^-

fx=∞ et lim

x2⁺

f x=−∞

II -

1. Pour tout x réel on a −1cosx1 d'où −2−2cosx2. d'où x−2x−2 cosxx2, or x10 sur ]−1;∞ [ et donc , pour tout x−1 on a : x−2

x1x−2 cosx

x1 x2 x1 . 2. lim

x∞

x−2 x1=lim

x∞

x2

x1=1 , d'où d'après le théorème d'encadrement lim_x∞ f x=1 . III – ^u1=1; u_n1=2u_n1.

1. u₁=1; u₂=3; u₃=7; u₄=15 2. Voir annexe.

3. Notons P_n : u_n=2ⁿ−1

a. on a : u₁=1 et 2¹−1=1 d'où P_n est vraie au rang 1.

b. Supposons la propriété vraie à un certain rang n.

alors u_n1=2u_n1=2×2ⁿ−11=2^n1−21=2^n1−1 d'où la propriété est vraie au rang suivant.

c. Conclusion : Par récurrence la propriété est vraie pour tout n1 . IV – Soit x−1, notons P_n : 1xⁿ1n x

a. on a : 1x⁰=1 et ^10×x=1d'où P_n est vraie au rang 1.

b. Supposons la propriété vraie à un certain rang n.

alors 1x^n1=1xⁿ×1x; or 1xⁿ1n x et 1x0 , d'où 1xⁿ1x1n x1x,

de plus 1n x1x=1n1xn x²1n1x car n x²0 . On a donc 1x^n11n1x

d'où la propriété est vraie au rang suivant.

c. Conclusion : Par récurrence la propriété est vraie pour tout n0.

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