Chapitre 5 : Les symboles Récurrence

Chapitre 5 : Les symboles

Récurrence

Le but du jeu des tours de Hanoï est de déplacer les pièces de la tour gauche vers la tour droite. Les pièces peuvent être déplacées d’une tour à une autre à condition que la tour de destination ne contienne aucune pièce plus petite que celle que l’on souhaite déplacer.

Combien de déplacements sont-ils nécessaires pour déplacer les npièces de la tour gauche vers la tour

Table des matières

I Les sommes simples . . . 3

I.1 Le symboleX . . . 3

I.2 Les sommes usuelles à connaître . . . 5

I.3 Le changement d’indice . . . 6

II Les produits simples . . . 7

II.1 Le symbole produit . . . 7

II.2 Factorielle . . . 9

III Les raisonnements par récurrence . . . 10

III.1 Le raisonnement par récurrence . . . 10

III.2 Le raisonnement par récurrence double . . . 12

Le problème posé ici met en évidence une propriété qui dépend des entiers naturels. Pour la démontrer, nous allons utiliser un raisonnement dit par récurrence. Ce dernier permettra alors de passer de la forme implicite de la suite à sa forme explicite.

Avant d’étudier cela, nous allons expliciter de manière rigoureuse certaines notations très utiles.

Vous retrouverez ci-dessous la liste des éléments à maitriser. Pour cela, il faudra savoir refaire les exemples et applications du cours, ainsi que les exercices de la feuille de TD.

r savoir utiliser les symboles X

et Y

r connaître les sommes usuelles

r savoir effectuer un changement d’indice r connaître la notion factorielle

r savoir utiliser les différents types de raisonnement par récurrence Objectifs

I Les sommes simples

I.1 Le symbole

On définit pour une famille de nombre (x_k)_k∈~1;nla somme

n

X

k=1

x_k=x1+x2+. . .+xn

On peut également la noter X

k∈~1;n

x_k. Définition

La notation avec le sym- boleX

permet de définir cette somme de manière rigoureuse.

n

X

k=1 x_kse lit

"somme desx_kpourk allant de 1 àn".kest ap- pelé l’indice, 1 etnles bornes,x_kle terme géné- ral

-Pour info

• Lorsque x_k=1 k, 1 +1

2+1

3+. . .+1 n=

n

X

k=1

1 k

• Lorsque x_k=k,

n

X

k=1

k= 1 + 2 + 3 +. . .+n

• 1 +q+q²+. . .+qⁿ=

n

X

k=1

q^k (icix_k=q^k) Exemples

• Plus généralement, pour tout (p;n)∈N², p6n, on a :

n

X

k=p

x_k=xp+xp+1+. . . xn

Cette somme comporten−p+ 1 termes.

• Le choix de l’indice de sommation n’a pas d’importance, on dit qu’il est muet.

n

X

k=1

x_k=

n

X

j=1

x_j=

n

X

i=1

x_i=. . . Remarques

Que vaut

n

X

i=1

i+

n

X

k=1

k? Application

. . . . . . . .

Réponse

Écrire avec le symboleX

• 2 + 4 + 6 +. . .+ 100 =. . .

• 1 +1 2+1

4+1

8+. . .+ 1 4096=. . .

• 1 + 3 +. . .+ 99 =. . . Application

. . . . . . . . . . . .

Réponse

On reconnaît ici la somme des termes d’une suite arithmétique et celle de deux suites géométriques

-Pour info

Il faut veiller à bien regarder si le terme général dépend de l’indice de sommation.

Remarque

• Soita∈R. Que vaut

n

X

k=1

a?

• Peut-on affirmer que

n

X

k=1

x_k=

n

X

k=1

x_j? Application

. . . . . . . . . . . . . . . .

Réponse

On a :

•

n

X

k=1

x_k+

n

X

k=1

y_k=

n

X

k=1

x_k+y_k

• ∀λ∈R,

n

X

k=1

λx_k=λ

n

X

k=1

x_k

• ∀m∈~1;n,

m

X

k=1

x_k+

n

X

k=m+1

x_k=

n

X

k=1

x_k Propriétés

Ces propriétés sont à com- prendre. Elle repose uni- quement sur le fait que le symboleX

symbolise une somme!

-Pour info

I.2 Les sommes usuelles à connaître

Pour toutn∈N,

•

n

X

k=0

k=n(n+ 1) 2

•

n

X

k=0

k²=n(n+ 1)(2n+ 1) 6

•

n

X

k=0

k³=n²(n+ 1)² 4 Propriétés

La première somme a été vue lors de la somme des termes d’une suite arithmétique.

Pour toutn∈N,

n

X

k=0

q^k=







n+ 1 si q= 1 1−qⁿ⁺¹

1−q si q,1

Propriété

De manière plus générale, siq,1,∀n>p,

n

X

k=p

q^k=q^p×1−q^n−p+1

1−q .

Remarque

Siq= 1, que vaut

n

X

k=p

q^k? Application

. . . . . . . .

Réponse

I.3 Le changement d’indice

Soit (n;p)∈N² tel quep6net mun entier.

On a alors

n

X

k=p

x_k+m=

n+m

X

i=p+m

x_i

On dit que l’on a effectué le changement d’indicei=k+m.

Propriété

Ceci a un intérêt non né- gligeable pour simplifier une somme, en regrouper deux

-Pour info

Pour effectuer un changement d’indice, on procède de la façon suivante :

• on change l’indice en posantj=. . .(on le fait remarquer au gentil correcteur)

• on change ensuite les bornes Méthode

L’ancien indice ne doit plus apparaître dans la nouvelle somme

8Attention !

•

n−1

X

k=0

(k+ 1) =

n

X

j=1

j en effectuant le changement d’indicej=k+ 1

•

n+1

X

k=2

(k−1) =

n

X

i=1

ien effectuant le changement d’indice =k−1 Exemples

• Déterminer

n+1

X

k=2

3^k−1.

• Déterminer

n−1

X

k=0

(k²+ 2k+ 1).

• En calculant de deux manières différentes

n

X

k=1

((k+ 1)³−k³), déterminer

n

X

k=1

k². Application

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Réponse

Dans ce dernier exemple, le terme général apparaît comme la différence de deux termes consécutifs d’une suite. On dit qu’on a alors des sommes télescopiques.

Remarque

Exprimer pour tout entier natureln>1,

n

X

k=1

1

k(k+ 1) en fonction den.

Application

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Réponse

II Les produits simples

II.1 Le symbole produit

On définit pour une famille de nombre (x_k)_k∈~1;nle produit

n

Y

k=1

x_k=x₁×x₂×. . .×x_n

On peut également la noter Y

k∈~1;n

x_k. Définition

n

Y

k=1

x_kse lit "produit des x_kpourkallant de 1 àn"

-Pour info

n

Y

k=1

k= 1×2×3×. . .×n.

Exemple

• Comme pour les sommes, plus généralement, pour tout (p;n)∈N², p6n, on a :

n

Y

k=p

x_k=xp×xp+1×. . .×xn

Cette produit comporte n−p+ 1 facteurs.

• Le choix de l’indice n’a là non plus pas d’importance, il est muet.

n

Y

k=1

x_k=

n

Y

j=1

x_j=

n

Y

i=1

x_i=. . . Remarques

Les règles de calcul sur les produits s’appliquent et on a :

•

n

Y

k=1

x_k×

n

Y

k=1

y_k=

n

Y

k=1

(x_ky_k)

• ∀m∈~1;n,

n

Y

k=1

x_k=

m

Y

k=1

x_k×

n

Y

k=m+1

x_k

• Si aucun des y_k n’est nul,

n

Y

k=1

x_k y_k =

n

Y

k=1

x_k

n

Y

k=1

y_k Propriétés

• ∀λ∈R,

n

Y

k=p

λ=λ^n−p+1

•

n

Y

k=1

λx_k=λⁿ

n

Y

k=1

x_k

• Les notions de changement d’indice s’appliquent aussi pour les produits Remarques

Exprimer pour tout entier natureln>1,

n

Y

k=1

k

k+ 1 en fonction den.

Application

. . . . . . . . . . . . . . . .

Réponse

II.2 Factorielle

Soitn∈N. On appelle factoriellen, notén! l’entier naturel défini par

n! =







1 si n= 0

n

Y

k=1

k sinon

Définition

• 1! =

• 2! =

• 3! =

• 4! =

• 5! = Exemples

∀n>1, n! =n×(n−1)!.

Remarque

Exprimer en fonction denle produit desnpremiers entiers naturels pairs non nuls et en déduire le produit des impairs.

Application

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Réponse

III Les raisonnements par récurrence

Quel point commun y a-t-il entre toutes ces assertions ?

• ∀n∈N,

n

X

k=0

k=n(n+ 1) 2

• ∀n∈N,

n

X

k=0

k²=n(n+ 1)(2n+ 1) 6

• ∀n∈N,

n

X

k=0

k³=n²(n+ 1)² 4

• ∀n∈N,

n

X

k=0

q^k=1−qⁿ⁺¹

1−q oùq,1

• ∀n∈N, F_n= 1

√5

1 +√ 5 2

ⁿ

−

1−√ 5 2

!n

• ∀n∈N, F_n<

7 4

n

Question

. . . . . . . .

Réponse

III.1 Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est utilisé pour démontrer qu’une propriété est vraie pour tout entier naturelnou tout du moins à partir d’un certain rangn0.

L’idée est la suivante :

• Quelles sont les deux conditions pour que tous les dominos se renversent ?

• lepremierdomino doit tomber

• chaque domino doit faire tomberle suivant

• Quelles sont les deux conditions pour pouvoir monter les escaliers ?

• savoir monter sur lapremièremarche

SoitP(n) une propriété dépendant de l’entier naturelnet n₀∈N. Si les deux étapes suivantes sont vérifiées, alors la propriétéP(n) est vraie pour tout entier naturel n≥n₀.

1. Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie pour l’entier n₀, c’est-à-dire qu’on a P(n₀) (nous venons de monter sur la première marche).

2. Hérédité : On démontre que si on aP(n) pour un entier natureln≥n₀alors on aP(n+1) (nous savons passer d’une marche à l’autre).

Théorème

Le raisonnement par ré- currence n’est à utiliser que lorsque la propriété ne peut être démontrée

"directement"

-Pour info

Les deux conditions sont-elles indispensables ? Question

• Soit (u_n) la suite définie par u₀ =−3 et u_n+1 = 2u_n. Intéressons-nous à la propriété suivante : ”u_n>0”.

• Démontrer l’hérédité de la propriété.

• Que peut-on dire de cette propriété ?

• Soit (u_n) la suite définie par u₀=−3 et u_n+1 =−2u_n. Intéressons-nous à la propriété suivante : ”u_n60”.

• Est-elle initialisée ? héréditaire ?

• Que peut-on dire de cette propriété ? Exemple

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Réponse

• Soit (u_n) la suite définie paru₀= 2 etu_n+1= u_n 1 +u_n. Démontrer que pour tout entier natureln, u_n= 2

2n+ 1.

• ∀a∈R, ∀n∈N, (e^a)ⁿ=e^na. Démontrer cette propriété à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

• Soit (u_n) la suite définie paru₀= 1 etu_n+1=√ 2 +u_n. Démontrer que pour tout entier natureln,0< un<2.

Application

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Réponse

Pour démontrer une propriété par récurrence :

• On nomme clairement la propriété

• On l’initialise

• On montre qu’elle est héréditaire

• On conclut

Méthode

Il existe la récurrence forte : dans l’hérédité, on suppose que la propriété est vraie pour tous les entiers naturels inférieurs ou égaux àn

Remarque

Soit (u_n)_n∈Nla suite définie par





 u0= 1

∀n∈N, u_n+1=

n

P

k=0

u_k.

• Calculeru₁, u₂, u₃ etu₄.

• Conjecturer, pour toutn∈N^∗, une valeur deu_n en fonction den.

• Démontrer la conjecture.

Application

III.2 Le raisonnement par récurrence double

Il se peut que l’on ait, pour tout entier natureln, P(n+ 2)en fonction deP(n+ 1) et deP(n).

Alors, pour démontrer que la propriété est vraie pour tout entier natureln, on peut utiliser un raison- nement par récurrence double.

On peut employer le symbolisme d’un escalier, où pour grimper au niveaun+ 2, il faudrait au préalable avoir les pieds sur chacune des marchesnet n+ 1.

SoitP(n) une propriété dépendant de l’entier naturelnet n0∈N. Si les deux étapes suivantes sont vérifiées, alors la propriétéP(n) est vraie pour tout entier naturel n≥n0.

• Initialisation : On montre que la propriété est vraie aux rangs n0et n0+ 1.

(Les pieds sont bien en place sur les deux premiers niveaux...)

• Hérédité : Soit n≥n0 entier fixé quelconque. On suppose que la propriété est vraie aux rangs net n+ 1 et on montre que sous ces deux hypothèses, elle est alors vraie au rang n+ 2.

(Si les pieds sont bien en place sur deux niveaux consécutifs, on peut accéder au niveau supérieur...)

Propriété

On mène ainsi une récur- rence sur deux généra- tions. De la même façon, on peut mener une récur- rence sur trois, quatre, etc... générations

-Pour info

Démontrer que

• ∀n∈N, F_n= 1

√5

1 +√ 5 2

ⁿ

−

1−√ 5 2

!n

• ∀n∈N, Fn<

7 4

n

Pour rappel,F₀= 0,F₁= 0 et∀n>0, F_n+2=F_n+F_n+1. Application

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Réponse