Analyse 1 - Corrigé de l’examen 1 pdf

Aix-Marseille Université Année 2016-2017

Licence Mathématiques et Informatique Analyse 1

Corrigé du contrôle continu n

1

Exercice 1. Questions de cours

1. Soit(un)_n∈Nune suite réelle. Traduire à l'aide de quanticateurs les assertions suivantes : (a) [1 pt] La suite(u_n)_n∈Ndiverge vers −∞si et seulement si

∀A >0, ∃N ∈N, ∀n≥N, un≤ −A.

(b) [1 pt] La suite(u_n)_n∈Nne converge pas vers 2si et seulementsi

∃ >0, ∀N ∈N, ∃n≥N,|un−2|> .

2. Le but de cette question est de démontrer le théorème des gendarmes. On considère(a_n)_n∈N,(b_n)_n∈Net(c_n)_n∈Ntrois suites réelles telles que∀n∈N,a_n 6b_n 6c_n. On suppose que(a_n)_n∈N et(c_n)_n∈N convergent vers une même limite

`∈R. On xe un réel >0.

(a) [1 pt] Traduire à l'aide de quanticateurs la convergence de la suite(an)n∈Nvers`. On a :

∀˜ >0,∃N1∈N,∀n≥N1,|an−`| ≤˜.

En déduire qu'il existe un rangN1∈Nà partir duquel les termes de la suite(an)_n∈Nsont minorés par `−. On applique la dénition ci-dessus avec˜=ce qui nous donne unN₁ vériant :

∀n≥N1,|an−`|< .

Or, par dénition de la valeur absolue on a :|an−`|< ssi− < an−` < ; on en déduit en particulier que si n≥N1alorsan≥`−.

(b) [1 pt] De la même façon, montrer qu'il existe un rang N₂∈Nà partir duquel les termes de la suite(c_n)_n∈Nsont majorés par`+.

On a :

∀˜ >0,∃N2∈N,∀n≥N2,|cn−`| ≤˜. De même en appliquant cette dénition àon obtient l'existence d'unN2tel que :

∀n≥N₂,|c_n−`|< . d'où l'on déduit en particulier quecn≤`+dès quen≥N2.

(c) [1 pt] En déduire qu'il existe un rangN ∈Nà partir duquel les termes de la suite(bn)_n∈N sont dans l'intervalle ]`−, `+[.

On poseN = max(N₁, N₂)et on obtient que pour toutn≥N,

`−≤an ≤bn≤cn ≤`+. (d) [0,5 pt] Conclure.

On a montré que pour tout >0, il existe N∈Ntel que pour toutn≥N, on a

|bn−`| ≤,

c'est-à-dire que la suite(b_n)_n∈Nconverge vers`.

Exercice 2. On considère la suite(un)_n∈Ndénie pour toutn∈Npar u0 = 2

un+1 = ³₄un−1

1. [1 pt] Soit(vn)n∈Nla suite dénie pour toutn∈Nparvn=un+ 4. Montrer que(vn)n∈Nest une suite géométrique.

On a pour toutn∈Nque

vn+1=un+1+ 4 = 3

4un+ 3 = 3

4(un+ 4) = 3 4vn. Ainsi,(vn)_n∈Nest une suite géométrique de raison3/4.

2. [1 pt] Donner, pour toutn∈N, une expression de vn en fonction den. Montrons par récurrence que

∀n∈N, vn = 3

4 n

6.

(a) Initialisation. On a bienv₀=u₀+ 4 = 6 = ³₄⁰ 6.

(b) Hérédité. Supposons la propriété vraie au rang n∈Net montrons-là au rangn+ 1. On a v_n+1=3

4v_n= 3 4

3 4

ⁿ 6 =

3 4

ⁿ⁺¹

www.alloacademy.com

On a montré par récurrence que la propriété est vraie pour tout entiern. 3. [0,5 pt] En déduire, pour toutn∈N, une expression de u_n en fonction den.

On a pour toutn∈Nque

u_n=v_n−4 = 3

4 n

6−4.

4. [1 pt] Déterminer la limite de la suite(un)_n∈N.

Comme3/4∈]−1,1[, la suite géométrique(v_n)_n∈Nconverge vers 0. Par somme, on obtient que(u_n)_n∈Nconverge vers

−4.

Exercice 3. On considère la suite(u_n)_n∈Ndénie pour toutn∈Npar u0 = 1

u_n+1 = p

1 + (u_n)². 1. [1 pt] Montrer par récurrence que pour toutn∈N,un=√

n+ 1. (a) Initialisation. On a bienu₀= 1 =√

0 + 1.

(b) Hérédité. Supposons la propriété vraie au rang n∈N. Montrons-là au rangn+ 1. On a un+1=

q 1 + (√

n+ 1)²=p

(n+ 1) + 1.

On a montré que la propriété est vraie pour tout entiern.

2. [1,5 pt] En revenant à la dénition formelle, montrer que la suite(un)_n∈Ndiverge vers+∞. SoitA >0, on a que pour tout entiern∈Ntel que n≥A²,

un =√

n+ 1≥√ n≥A.

Ainsi, on a montré que la suite (u_n)_n∈N diverge vers+∞.

3. [2,5 pt] En revenant à la dénition formelle, montrer que la suite (a_n)_n∈N dénie pour toutn ∈Npara_n = u_n+1 un

est convergente.

On a pourn∈N,

a_n =u_n+1 un

= s

1 + 1

(un)² = 1 + 1 (un)²q

1 +_(u¹

n)² + 1, et commeq

1 + _(u¹

n)² ≥0,

|1−a_n| ≤ 1 u²_n = 1

n+ 1. Ainsi, pour tout >0, on a pour toutn≥⁻¹quen+ 1≥⁻¹+ 1≥⁻¹ et

|1−a_n| ≤ 1 n+ 1 ≤. On a montré que la suite(an)_n∈Nconverge vers1.

4. [0,5 pt] Soit (x_n)_n∈N une suite réelle telle que x_n 6= 0, ∀n ∈ N. Déduire des questions précédentes que La suite (^x_xⁿ⁺¹

n )_n∈Nconverge n'est pas une condition susante pour que la suite (x_n)_n∈N soit convergente.

Par les points 2 et 3, la suite(u_n)_n∈Nest un contre-exemple à cette assertion.

5. [3 pt] Sans revenir à la dénition formelle, étudier la limite des suites(bn)n∈N,(cn)n∈Net(dn)n∈Ndénies pour tout n∈Npar

b_n =u_n+1−u_n, c_n =(−1)ⁿ un

et d_n= (−1)ⁿu_n. (a) On a pourn∈N,

0≤b_n =u_n+1−u_n=√

n+ 2−√

n+ 1 = 1

√n+ 2 +√

n+ 1 ≤1/u_n

Comme(u_n)_n∈Ndiverge vers +∞, on a que (1/u_n)_n∈N converge vers0 et le théorème des gendarmes assure que (b_n)_n∈N converge vers0.

(b) On obtient aussi que|cn|= 1/un donc la suite(|cn|)n∈Nconverge vers0, tout comme(cn)n∈N.

(c) Comme pour tout n ∈ N, d2n = u2n et (un)_n∈N diverge vers +∞, on a que la sous-suite (d2n)_n∈N diverge vers +∞. De même, comme pour tout n∈ N, d2n+1 =−u2n+1, on obtient que la sous-suite(d2n+1)_n∈N diverge vers

−∞. On peut en particulier conclure que la suite(dn)_n∈Ndiverge.

6. [0,5 pt] Soit(y_n)_n∈Nune suite réelle. La condition lim

n→+∞y_n+1−yn= 0 est-elle susante pour que la suite(y_n)_n∈N soit convergente ? (Justier votre réponse).

Comme

www.alloacademy.com

Exercice 4. On considère les suites(un)_n∈N^∗ et (vn)_n∈N^∗ dénies pour toutn∈N^∗par











un =

n

X

k=1

1 k² v_n = u_n+ 3

n. 1. [2 pt] Étudier la monotonie des suites(un)n∈N^∗ et(vn)n∈N^∗.

On a pour toutn∈N^∗,

un+1−un = 1/(n+ 1)²>0, et

vn+1−vn = (un+1−un) + 3 n+ 1 −3

n = n+ 3n−3(2n+ 1)

n(n+ 1)² =− 2n+ 3 n(n+ 1)² <0.

Ainsi les suites(u_n)_n∈N^∗ et(v_n)_n∈N^∗ sont respectivement strictement croissante et décroissante.

2. [0,5 pt] Montrer que pour toutndansN^∗,un6vn. On a pour toutn∈N^∗,

un−vn =−3/n <0.

3. [2 pt] En revenant à la dénition formelle, montrer que la suite (v_n−u_n)_n∈N^∗ converge vers 0.

On xe >0. On a pour tout entiern≥³ que

|un−vn| ≤3/n≤. Ainsi, la suite (un−vn)n∈Nconverge vers0.

4. [0,5 pt] Que vient-on de montrer sur les suites (un)_n∈N^∗ et(vn)_n∈N^∗?

On a montré que les suites(u_n)_n∈N^∗ et (v_n)_n∈N^∗ sont adjacentes, elles convergent donc vers une même limite.

www.alloacademy.com