On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,0≤yn≤2

(1)

b)Montrons par récurrence que pour tout entier natureln, on ay_n∈[0, 2].

•y0 =0et doncy0∈[0, 2].

•Soitnun entier naturel. Supposons queyn∈[0, 2]. Alors d’après a),p(yn)∈[0, 2] et doncyn+1∈[0, 2]. On a montré par récurrence que

pour tout entier natureln,0≤yn≤2.

c)Soitnun entier naturel.

yn+1−yn= (−0, 2y²_n+yn+0, 8) −yn= −0, 2y²_n+0, 8= −0, 2(y²_n−4) = −0, 2(yn+2)(yn−2).

Puisqueyn est inférieur ou égal à2, cette dernière expression est positive.

On a montré que pour tout entier natureln, on ayn+1−yn≥0et donc que la suite(y_n)est croissante.

d)D’après c), la suite(yn)est croissante et d’après b), la suite(yn)est majorée par2. On en déduit que la suite(y_n)est convergente.

Partie B : étude d’une fonction 1. On a déjàg(0) = 2× e⁰−1

e⁰+1 = 2× 1−1

1+1 = 0. D’autre part, g est dérivable sur [0,+∞[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur[0,+∞[dont le dénominateur ne s’annule pas sur[0,+∞[et pour tout réel positifx, on a

g^′(x) =2(4e^4x)(e^4x+1) − (e^4x−1)(4e^4x)

(e^4x+1)² =8e^4x (e^4x+1) − (e^4x−1)

(e^4x+1)² =16 e^4x (e^4x+1)². D’autre part,

4− (g(x))²=4−4(e^4x−1)² (e^4x+1)² =4

1−(e^4x−1)² (e^4x+1)²

=4(e^4x+1)²− (e^4x−1)²

(e^4x+1)² =16 e^4x (e^4x+1)². On a montré que

(1):g(0) =0et(2): pour tout réel positifx,g^′(x) =4− (g(x))².

2. a)Pour tout réel positifx,e^4x6=0et on peut donc écrire g(x) =2e^4x(1−e^−4x)

e^4x(1+e^−4x)=21−e^−4x 1+e^−4x. Quandxtend vers+∞,e^−4x tend vers0et doncg(x)tend vers2.

x→lim+∞

g(x) =2.

On en déduit encore que

la droite(∆)d’équationy=2est asymptote à(Cg)en+∞.

b)On a vu à la question 1 quegest dérivable sur[0,+∞[et que pour tout réel positifx g^′(x) =16 e^4x

(e^4x+1)².

(2)

g^′ est strictement positive sur[0,+∞[et donc

gest strictement croissante sur[0,+∞[.

3. Notons(T)la tangente à(C_g)enO(on rappelle queg(0) =0). Puisqueg^′(0) =16 1

(1+1)² =4, une équation de(T) esty=4x. Les coordonnées du point d’intersection de (∆)et(T)vérifient le système

y=2

y=4x qui est équivalent à

y=2 x= 1 2

les coordonnées du point d’intersection de(∆)et de (T)sont (1 2, 2). 4.

1 2

M0

M1

M2

M3

M4 M5 M6 M7

(C_g) (T)

(∆)