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Devoir surveillé n°1

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Academic year: 2022

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Mercredi 28 septembre – 1h

Devoir surveillé n°1

Divisibilité – Division euclidienne

QUESTION DE COURS(3 points)

Soita,b etc trois nombres entiers relatifs ; démontrer que sia diviseb etadivisec, alorsa divise toute combinaison linéaire à cœfficients entiers debet dec.

EXERCICE1.1(3 points).

Déterminer l’ensemble des entiers naturelsntels que 2n+9 divisen+11.

EXERCICE1.2(3 points).

Déterminer tous les couples (x;y) d’entiers relatifs tels quex2=9y2+7.

EXERCICE1.3(3 points).

Montrer, par récurrence surn, que, pour tout entier natureln, 42n−2nest divisible par 7.

EXERCICE1.4(8 points).

Les questions ne sont pas indépendantes.

La suite (un) est définie, pour tout entier natureln, parun=5n3+n.

1. Vérifier que, pour tout entier natureln,un+1−un=3 [5n(n+1)+2].

2. Démontrer que, pour tout entier natureln, 5n(n+1)+2 est un nombre pair.

3. En déduire, en utilisant une démonstration par récurrence surn, que, pour tout entier naturel n,unest divisible par 6.

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