FlorentHivertVivianePonsDecember2019 Advisors: HugoMlodecki Basisoftotallyprimitiveelementsof WQSym

(1)

BasisRof WQSym Bidendriform biaglebra BasisP Annex

Basis of totally primitive elements of WQSym

Hugo Mlodecki Advisors:

Florent Hivert Viviane Pons

December 2019

(2)

BasisRof WQSym Bidendriform biaglebra BasisP Annex Packed words Product Coproduct

Packed words

Definition

A word over the alphabet N >0 is packed if all the letters from 1 to its maximum m appears at least once.

Example

4152142 ∈ / PW but pack(4152142) = 3142132 ∈ PW One representation : #rows ≤ #columns

• • •

•

• 2 3 1 4 3

(3)

Packed words

Definition

A word over the alphabet N >0 is packed if all the letters from 1 to its maximum m appears at least once.

Example 4152142 ∈ / PW

but pack(4152142) = 3142132 ∈ PW One representation : #rows ≤ #columns

• • •

•

• 2 3 1 4 3

(4)

Packed words

Definition

A word over the alphabet N >0 is packed if all the letters from 1 to its maximum m appears at least once.

Example

4152142 ∈ / PW but pack(4152142) = 3142132 ∈ PW

One representation : #rows ≤ #columns

• • •

•

• 2 3 1 4 3

(5)

Packed words

Definition

A word over the alphabet N >0 is packed if all the letters from 1 to its maximum m appears at least once.

Example

4152142 ∈ / PW but pack(4152142) = 3142132 ∈ PW One representation : #rows ≤ #columns

• • •

•

(6)

Hopf algebra

unitary associative product ·

counitary coassociative coproduct ∆ Hopf relation ∆(a · b) = ∆(a) · ∆(b)

Example WQSym

R w with w ∈ PW

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 1332 + R 3123 + R 3132 + R 3312

∆( R 24231 ) = 1 ⊗ R 24231 + R 121 ⊗ R 21 + R 1312 ⊗ R 1 + R 24231 ⊗ 1

(7)

Hopf algebra

unitary associative product ·

counitary coassociative coproduct ∆ Hopf relation ∆(a · b) = ∆(a) · ∆(b) Example

WQSym

R w with w ∈ PW

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 1332 + R 3123 + R 3132 + R 3312

∆( R 24231 ) = 1 ⊗ R 24231 + R 121 ⊗ R 21 + R 1312 ⊗ R 1 + R 24231 ⊗ 1

(8)

Shuffle product on packed words

• • 1 2

• • 1 1

= R

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 1332 + R 3123 + R 3132 + R 3312

• •

•

• 1 2 3 3

• •

•

• 3 1 2 3 +

+

• •

•

• 1 3 2 3

• •

•

• 3 1 3 2 +

+

• •

•

• 1 3 3 2

• •

•

• 3 3 1 2

(9)

Shuffle product on packed words

• • 1 2

• •

1 1 =

R

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 1332 + R 3123 + R 3132 + R 3312

• •

•

• 1 2 3 3

• •

•

• +

+

• •

•

• 1 3 2 3

• •

•

• +

+

• •

•

• 1 3 3 2

• •

•

(10)

Shuffle product on packed words

• • 1 2

• •

1 1 = R

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 1332 + R 3123 + R 3132 + R 3312

• •

•

• 1 2 3 3

• •

•

• +

+

• •

•

• 1 3 2 3

• •

•

• +

+

• •

•

• 1 3 3 2

• •

•

(11)

Shuffle product on packed words

• • 1 2

• •

1 1

= R

R σ R µ := P

ν∈σ µ

R ν

• •

•

• 1 2 3 3

• •

•

• +

+

• •

•

• 1 3 2 3

• •

•

• +

+

• •

•

• 1 3 3 2

• •

•

(12)

Deconcatenation

•

• • •

• 2 4 2 3 1

∆

→

•

• • •

• 2 3 2 4 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

•

• • •

• 2 4 2 3 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(13)

Deconcatenation

•

• • •

• 2 4 2 3 1

∆

→

•

• • •

• 2 3 2 4 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

•

• • •

• 2 4 2 3 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(14)

Deconcatenation

•

• • •

• 2 4 2 3 1

∆

→

•

• • •

• 2 3 2 4 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

•

• • •

• 2 4 2 3 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(15)

Deconcatenation

•

• • •

• 2 4 2 3 1

∆

→

•

• • •

• 2 3 2 4 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

•

• • •

• 2 4 2 3 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(16)

Deconcatenation

•

• • •

• 2 4 2 3 1

∆

→

•

• • •

• 2 3 2 4 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

•

• • •

• 2 4 2 3 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(17)

Deconcatenation

•

• • •

• 2 4 2 3 1

∆

→

•

• • •

• 2 3 2 4 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

•

• • •

• 2 4 2 3 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(18)

Deconcatenation

R ²⁴²³¹

∆

→

•

• • •

• 2 3 2 4 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

•

• • •

• 2 4 2 3 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(19)

Deconcatenation

R ²⁴²³¹ ^∆ _→

R ⊗ R ²⁴²³¹

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

•

• • •

• 2 4 2 3 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(20)

Deconcatenation

R ²⁴²³¹ ^∆ _→

R ⊗ R ²⁴²³¹

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

• • •

2 4 2

• • 3 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(21)

Deconcatenation

R ²⁴²³¹ ^∆ _→

R ⊗ R ²⁴²³¹

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

• • •

1 2 1

• • 2 1

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(22)

Deconcatenation

R ²⁴²³¹ ^∆ _→

R ⊗ R ²⁴²³¹

•

• • •

• 2 4 2 3 1

+

R ¹²¹ ⊗ R ²¹

•

• • •

• 2 4 2 3 1

(23)

Deconcatenation

R 24231 ^∆ _→

R ⊗ R ²⁴²³¹

R ¹³¹² ⊗ R ¹

+

R ¹²¹ ⊗ R ²¹

R ²⁴²³¹ ⊗ R

(24)

BasisRof WQSym Bidendriform biaglebra BasisP Annex Half products and coproducts Primitive elements

Half products

Recursive definition of Shuffle product

w = w = w

ua vb = (u vb)a + (ua v)b

= ua ≺ vb + ua vb Example of left and right products

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 1332 + R 3123 + R 3132 + R 3312

R 12 ≺ R 11 = R 1332 + R 3132 + R 3312

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 3123

(25)

Half products

Recursive definition of Shuffle product

w = w = w

ua vb = (u vb)a + (ua v)b = ua ≺ vb + ua vb

Example of left and right products

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 1332 + R 3123 + R 3132 + R 3312

R 12 ≺ R 11 = R 1332 + R 3132 + R 3312

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 3123

(26)

Half products

Recursive definition of Shuffle product

w = w = w

ua vb = (u vb)a + (ua v)b = ua ≺ vb + ua vb Example of left and right products

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 1332 + R 3123 + R 3132 + R 3312

R 12 ≺ R 11 = R 1332 + R 3132 + R 3312

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 3123

(27)

Half products

Recursive definition of Shuffle product

w = w = w

ua vb = (u vb)a + (ua v)b = ua ≺ vb + ua vb Example of left and right products

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 1332 + R 3123 + R 3132 + R 3312

R 12 ≺ R 11 = R 1332 + R 3132 + R 3312

R 12 R 11 = R 1233 + R 1323 + R 3123

(28)

Half coproducts

Definitions

∆ ≺ ( R u ) ^: = P n−1

i=k

{u1,...,ui}∩{ui+1,...,un}=∅

u

k

=max(u)

R pack(u

1

···u

_i

) ⊗ R pack(u

_i+1

···u

n

) ,

∆ ( R u ) ^: = P k−1

i=1

{u1,...,ui}∩{ui+1,...,un}=∅

u

k

=max(u)

R pack(u

1

···u

i

) ⊗ R pack(u

i+1

···u

n

)

Example of left and right coproducts

∆( ˜ R 2425531 ) = R 121 ⊗ R 3321 + R 12133 ⊗ R 21 + R 131442 ⊗ R 1

∆ ≺ (R 2425531 ) = R 12133 ⊗ R 21 + R 131442 ⊗ R 1

∆ ( R 2425531 ) = R 121 ⊗ R 3321

(29)

Half coproducts

Definitions

∆ ≺ ( R u ) ^: = P n−1

i=k

{u1,...,ui}∩{ui+1,...,un}=∅

u

k

=max(u)

R pack(u

1

···u

_i

) ⊗ R pack(u

_i+1

···u

n

) ,

∆ ( R u ) ^: = P k−1

i=1

{u1,...,ui}∩{ui+1,...,un}=∅

u

k

=max(u)

R pack(u

1

···u

i

) ⊗ R pack(u

i+1

···u

n

)

Example of left and right coproducts

∆( ˜ R 2425531 ) = R 121 ⊗ R 3321 + R 12133 ⊗ R 21 + R 131442 ⊗ R 1

∆ ≺ (R 2425531 ) = R 12133 ⊗ R 21 + R 131442 ⊗ R 1

(30)

Half coproducts

Definitions

∆ ≺ ( R u ) ^: = P n−1

i=k

{u1,...,ui}∩{ui+1,...,un}=∅

u

k

=max(u)

R pack(u

1

···u

_i

) ⊗ R pack(u

_i₊₁

···u

n

) ,

∆ ( R u ) ^: = P k−1

i=1

{u1,...,ui}∩{ui+1,...,un}=∅

u

k

=max(u)

R pack(u

1

···u

i

) ⊗ R pack(u

i+1

···u

n

)

Example of left and right coproducts

∆( ˜ R 2425531 ) = R 121 ⊗ R 3321 + R 12133 ⊗ R 21 + R 131442 ⊗ R 1

∆ ≺ (R 2425531 ) = R 12133 ⊗ R 21 + R 131442 ⊗ R 1

(31)

Goal

Automorphism,

Subspace that generate the algebra with (half) products.

Answer

Totally primitive elements

(32)

Goal

Automorphism,

Subspace that generate the algebra with (half) products.

Answer

Totally primitive elements

(33)

Definitions

Primitive elements

P is a primitive element ⇐⇒ ∆(P ˜ ) = 0 Ex : R 1213 − R 2321

Totally primitive Element

P is a totally primitive element ⇐⇒ ∆ ≺ (P ) = ∆ (P ) = 0

Ex : R 12443 − R 21443 − R 23441 + R 32441

(34)

Definitions

Primitive elements

P is a primitive element ⇐⇒ ∆(P ˜ ) = 0 Ex : R 1213 − R 2321

Totally primitive Element

P is a totally primitive element ⇐⇒ ∆ ≺ (P ) = ∆ (P ) = 0

Ex : R 12443 − R 21443 − R 23441 + R 32441

(35)

Notations

Let A be a bidendriforme bialgebra

Prim(A) = Ker( ˜ ∆),

TPrim(A) = Ker(∆ ≺ ) ∩ Ker(∆ ), A(z) =

+ inf

X

n=1

dim(A n )z ⁿ ,

P(z) =

+ inf

X

n=1

dim(Prim(A _n ))z ⁿ ,

+ inf

(36)

Theorems

Bidendriforme version of Carier Milnor-Moore [Foissy]

Let A a bidendriforme bialgebra. Then A is freely generated as a dendriform algebra by TPrim(A). Moreover :

P(z) = A(z)

A(z) + 1 , T (z) = A(z) (A(z ) + 1) ² . or equivalently

A(z) = P (z )

1 − P(z) , P (z ) = T (z )(1 + A(z )).

n 1 2 3 4 5 6 7 OEIS

(37)

BasisRof WQSym Bidendriform biaglebra BasisP Annex Decorated forests A new basisP

Decorated forests

An exemple of decorated biplan forest:

2, 5

1 1, 3 1, 2 2

1 1, 2

1 1

On board: 8767595394312.

(38)

Decorated forests

An exemple of decorated biplan forest:

2, 5

1 1, 3 1, 2 2

1 1, 2

1

1 On board: 8767595394312.

(39)

Algorithm on 8767595394312

global descente factorization

remove maximums

global descente factorization left and right groups

positions of maximums recursively

87675953943 12

87675 · 53 · 4 8 767 5 · 5 3 · 4 8 767 | 5 · 5 3 · 4

· · · · | 123 456

(40)

Algorithm on 8767595394312

global descente factorization remove maximums

global descente factorization left and right groups

positions of maximums recursively

87675953943 12 87675 · 53 · 4

8 767 5 · 5 3 · 4 8 767 | 5 · 5 3 · 4

· · · · | 123 456

(41)

Algorithm on 8767595394312

global descente factorization remove maximums

global descente factorization

left and right groups positions of maximums recursively

87675953943 12 87675 · 53 · 4 8 767 5 · 5 3 · 4

8 767 | 5 · 5 3 · 4

· · · · | 123 456

(42)

Algorithm on 8767595394312

global descente factorization remove maximums

global descente factorization left and right groups

positions of maximums recursively

87675953943 12 87675 · 53 · 4 8 767 5 · 5 3 · 4 8 767 | 5 · 5 3 · 4

· · · · | 123 456

(43)

Algorithm on 8767595394312

global descente factorization remove maximums

global descente factorization left and right groups

positions of maximums recursively

87675953943 12 87675 · 53 · 4 8 767 5 · 5 3 · 4 8 767 | 5 · 5 3 · 4

· · · · | 123 456

(44)

New basis P

P := R 1 ,

P t

1

,...,t

_k

:= (...( P t

_k

≺ ...) ≺ P t

2

) ≺ P t

1

, P

I

r1 . . . rd

:= Φ I (P r

1

,...,r

d

),

P

I

`1 . . . `g r1 . . . rd

:= h P l

1

, P l

2

, ..., P l

k

; Φ _I ( P r

1

,...,r

d

)i.

Theorem

(45)

Th´ eor` emes

Corolaire du Th´ eor` eme Carier Milnor-Moore version dendriforme Soit A une alg` ebre de Hopf bidendriforme. Prim(A) est g´ en´ er´ e librement par TPrim(A) en tant que alg` ebre de brace avec l’op´ eration n-multilin´ eaire suivante :

hp ₁ , ..., p n−1 ; p n i =

n−1

X

i =0

(−1) ⁿ⁻¹⁻ⁱ

(p ₁ ≺ (p ₂ ≺ (... ≺ p _i )...) p _n ≺ (...(p _i+1 p _i+2 ) ...) p n−1 ).

(46)

Les premiers arbres

.

; ;

^1,2

.

;

2

; ;

; ; ;

1,2

;

1,3

;

^1,²

;

^1,2

;

2

1 12; 21; 11

123; 132; 213;

231; 312; 321;

122; 212; 221; 112;

121; 211; 111.

(47)

Les premiers arbres

.

; ;

^1,2

.

;

2

; ;

; ; ;

1,2

;

1,3

;

^1,²

;

^1,2

;

2

1 12; 21; 11

123; 132; 213;

231; 312; 321;

122; 212; 221; 112;

(48)

;

3

;

2

;

3 2

;

2

;

2 2

; ;

3

; ; ;

2

;

2

; ;

2

; ; ; ;

; ;

2

; ; ; ;

;

(49)

1,2

;

2,4

;

2,3

;

1,2

;

1,3

;

1,2

;

1,4

;

1,3

;

1,4

;

1,3

;

^1,2

;

^1,2

;

1,2

;

3 1,2

;

2 1,2

;

1,3

;

3 1,3

;

^1,²

;

1,2

;

2 1,3

;

2

1,2

;

1,2

;

1,3

;

^1,2

;

(50)

1,2,3

;

1,3,4

;

1,2,4

;

1,2,3

;

^1,²

;

3

1,2

;

2

1,2

;

3 2

1,2

;

2

1,2

;

2 2

1,2

;

^1,2

;

2 1,2

;

^1,²

;

^1,2

;

2 1,2

;

^1,2

;

1,2

;

2,4

1,2

;

2,3

1,2

;

1,4

1,2

;

1,3

1,2

;

^1,2 ^1,²

;

^1,2,3

;

3 2