MPSI A - B Année 2017-2018. DS Commun 2 le 25/05/18 28 février 2020
Dans tout le texte,ndésigne un entier supérieur ou égal à2.
Un espace probabilisé(Ω,P)est xé. Toutes les variables aléatoires considérées sont dénies sur cet espace. Elles peuvent être à valeurs réelles ou matricielles.
Une variable aléatoire X à valeurs réelles est dite de Rademacher si et seulement si elle vérie :
X(Ω) ={−1,+1}, P(X=−1) =P(X = +1) = 1 2.
Pour abréger les énoncés, on désignera par R-variable une variable de Rademacher.
Pourq etnentiers naturels non nul, on désigne parΩq,n la partie deMq,n formée par les matrices constituées uniquement de−1 et de+1.
Partie I. Variables de Rademacher.
1. a. Calculer l'espérance et la variance d'une R-variable.
b. SoitXetY deux R-variables indépendantes. Montrer queXY est de Rademacher.
2. On considère 4 R-variables m11, m12, m21, m22 mutuellement indépendantes et la variable aléatoire
δ=
m11 m12 m21 m22
=m11m22−m21m12. a. Calculer l'espérance et la variance deδ.
b. CalculerP(δ= 0).
3. On considère des R-variablesc1,· · · , cn etc01,· · · , c0n mutuellement indépendantes.
a. Soit(ε1,· · ·, εn)∈ {−1,+1}n. CalculerP((c1=ε1)∩ · · · ∩(cn=εn)). b. On note
C=
c1
...
cn
, C0 =
c01
...
c0n
.
Pour tout ω ∈ Ω, montrer que (C(ω), C0(ω)) liée si et seulement si C0(ω) =
±C(ω). En déduireP((C, C0)liée)).
Partie II. Outils matriciels.
1. Soit(X1,· · · , xn)la base canonique deMn,1(R)etV =X1+· · ·+Xn. Pouri∈J1, nK, exprimerXi en fonction deV et deV −2Xi. En déduire
Vect(Ωn,1) =Mn1(R).
2. SoitC1,· · ·, Cn des matrices colonnes deMn,1(R). Aucune de ces colonnes n'est nulle.
Montrer que si(C1,· · ·, Cn)est liée, il existe un unique j∈J1, n−1Ktel que (C1,· · · , Cj)libre etCj+1∈Vect(C1,· · ·, Cj).
3. Soit(C1,· · ·, Cd)une famille libre dans Mn,1(R)et H= Vect(C1,· · · , Cd). Montrer qu'il existe des entiersi1,· · ·, id tels que
1≤i1< i2<· · ·< id≤n et
H → Md,1(R)
x1
...
xn
7→
xi1
...
xid
bijective.
(on pourra penser aux matrices extraites)
4. SoitHun sous-espace deMn,1(R)de dimensiond. Montrer que Card(H ∩Ωn,1)≤2d.
5. Soitd < n et (C1,· · · , Cd) une famille libre dansMn,1(R)de colonnes à coecients dansZ. SoitH= Vect(C1,· · ·, Cd). Montrer qu'il existe une matrice ligne à coecients entiersL∈ M1,n(Z)non nulle telle que
∀X ∈ Mn,1(R), X ∈ H ⇒L X= 0.
Partie III. Matrices de Rademacher.
On considèren2variables de Rademacher mutuellement indépendantesmi,j avec(i, j)∈ J1, nK
2 et des variables aléatoires matricielles M =
m11 · · · m1n
... ...
mn1 · · · mnn
, C1=
m11
...
mn1
,· · · , Cn=
m1n
...
mnn
.
Pour tout événement élémentaireω∈Ω, les matricesM(ω)etCi(ω)sont donc constituées uniquement de−1et de +1.
Pour toutj∈J1, n−1K, on noteRj l'événement
(C1,· · ·, Cj)libre etCj+1∈Vect(C1,· · · , Cj) On note aussiRn l'événement M est inversible .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai Benoît SaleurS1710E
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1. Montrer queR1,· · ·, Rn est un système complet d'événements.
2. a. Montrer que
P(M non inversible )≤
n−1
X
j=1
P(Cj+1∈Vect(C1,· · ·, Cj)).
b. Fixons un événement élémentaireω ∈Ω. Pour j ∈J1, n−1K, on note Hj(ω) = Vect(C1(ω),· · · , Cj(ω)). Montrer que
P(Cj+1∈ Hj(ω))≤2j−n. En déduireP(Cj+1∈Vect(C1,· · ·, Cj))≤2j−n. c. Montrer queP(M non inversible )≤1−2n−11 .
Partie IV. Anti-chaînes.
SoitAune partie deP(J1, nK)(les éléments deAsont donc des parties deJ1, nK). On dit queAest une anti-chaîne si et seulement si
∀(A, B)∈ A2, A6=B⇒(A6⊂B etB 6⊂A).
Dans toute cette partie, A désigne une anti-chaîne. Soit A ∈ A de cardinal |A|. On note SA l'ensemble des permutationsσdeJ1, nKtelles que la restriction deσàJ1,|A|Kdénisse une bijection deJ1,|A|KdansA.
1. Exemple. Soitk∈J1, nK. Montrer que l'ensemble des parties deJ1, nKàkéléments est une anti-chaîne.
2. Pour un élémentAdeA, quel est le cardinal deSA?
3. a. SoitA etB deux éléments distincts deA. Montrer queSA∩SB=∅.
b. Pourk≤n, on désigne parak le nombre d'éléments deAde cardinalk. Montrer
que n
X
k=0
ak n k
≤1.
c. En utilisant sans démonstration
∀k∈J0, nK, n
k
≤ n
bn/2c
,
montrer que
Card(A)≤ n
bn/2c
.
4. SoitL= l1 · · · ln
une matrice ligne telle queli ≥1 pour tous lesi. Pour toute partieA deJ1, nK, on pose
CA=
c1
...
cn
avec∀i∈J1, nK, ci=
( 1 sii∈A
−1 sii /∈A. On note aussisA=LCA.
a. Montrer que siA⊂B⊂J1, nKavecA6=B alorssB−sA≥2.
b. Soit J un intervalle ouvert de R de longueur 2. On dénit un ensemble VJ de matrices colonnes par :
∀C∈ Mn,1(R), C ∈VJ⇔LC∈J.
En considérant une certaine anti-chaîne, montrer que Card (Ωn,1∩VJ)≤
n bn/2c
.
Montrer que cette propriété reste vraie si on suppose seulement|li| ≥1pour tous lesi.
c. Soientc1, ..., cndes variables de Rademacher mutuellement indépendantes. Notons C=
c1
...
cn
. Montrer que sinest susamment grand : P(C∈VJ)≤ 1
√n.
On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant : il existen0 ∈ N∗ tel que pour toutn≥n0, n
bn/2c
≤ 2n
√n.
Partie V. Universalité.
Dans cette partie, k désigne un entier inférieur ou égal à n. Une partie V ⊂ Ωn,1 est dite k-universelle si pour tout k-uplet (j1, ..., jk) avec 1 ≤ j1 < ... < jk ≤ n et tout W =
w1
...
wn
∈Ωn,1, il existeV =
v1
...
vn
∈ V tel que wjl =vjl pour toutl∈J1, kK.
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MPSI A - B Année 2017-2018. DS Commun 2 le 25/05/18 28 février 2020 Soientn2variables de Rademacher mutuellement indépendantesmi,javec(i, j)∈J1, nK
2. On conserve les notations introduites au début de la partie III. Soitd∈J1, nK.
1. NotonsAl'événement {{C1, ..., Cd}n'est pas k-universelle}. En remarquant que :
A⊂ [
1≤j1<...<jk≤n
[
W∈Ωn,1
d
\
i=1 k
[
m=1
{mjm,i6=wjm}
montrer queP(A)≤ n
k
2k(1−2−k)d.
2. SoitV ⊂Ωn,1 une partie universelle. D'après la question II 5, il existe une ligne Là coecients entiers telle que
∀C∈Vect(V), LC= 0.
Montrer queLpossède au-moinsk+ 1 coordonnées non nulles.
3. En déduire à l'aide de la question IV 4 (c) que sikest susamment grand : P(C1∈Vect(V))≤P(LC1= 0)≤ 1
√k.
Partie VI. Théorème de Komlos.
On considère encoren2 variables de Rademacher mi,j avec(i, j)∈J1, nK
2. On conserve les notations introduites au début de la partie III.
1. Notons tn = b√
nc et kn = bln(n)c pour tout n ∈ N∗. On admettra que pour n susamment grand et pourj≥n−tn+ 1 :
n kn
2kn(1−2−kn)j ≤ 1 n.
a. Montrer que sinest susamment grand, pour toutj∈Jn−tn+ 1, n−1K: P(Cj+1∈Vect(C1, ..., Cj))≤ 1
pln(n)+1
n ≤ 2
pln(n). On distinguera les cas selon que(C1, ..., Cj)soitkn-universel ou non.
b. En déduire que :
n−1
X
j=n−tn+1
P(Cj+1∈Vect(C1, ..., Cj))≤ 2tn ln(n).
2. Pour tout n ∈ N∗, notons pn = P(M non inversible ). Montrer que la suite (pn) tend vers0. Il s'agit du théorème de Komlos.
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3 Rémy Nicolai Benoît SaleurS1710E
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)