Enonc´e noE327 (Diophante) Le probl`eme des huit ˆages
Diophante (D) et Hippolyte (H) croisent une famille compos´ee de sept membres dont les ˆages sont des entiers tous distincts.
D : Les sommes partielles et la somme totale de leurs ˆages permettent d’obtenir tous les entiers compris entre 1 et 121 (bornes incluses). Sais-tu me donner leurs ˆages ?
H : Le probl`eme est ind´etermin´e.
D : Je suis plus ˆag´e que le plus ˆag´e de cette famille.
H : Maintenant je sais r´epondre.
Quels sont les ˆages des sept membres de cette famille et l’ˆage de Diophante.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soienta1< a2 < a3 < a4< a5 < a6< a7 les sept ˆages `a trouver.
SiP6k=1ak ≤ 59, a7 ≤60 pour que 60 puisse ˆetre obtenu comme somme partielle, et alorsP7k=1ak≤119<121, les totaux 120 et 121 ne pourraient pas ˆetre obtenus. DoncP6k=1ak≥60.
SiP5k=1ak ≤ 29, a7 ≤30 pour que 30 puisse ˆetre obtenu comme somme partielle, et alorsP6k=1ak ≤59 <60, les totaux ≥60 ne pourraient pas ˆetre obtenus avec les 6 premiers ˆages. DoncP5k=1ak ≥30.
On montre de la mˆeme mani`ere queP4k=1ak≥15,P3k=1ak ≥7. En outre il faut ´evidemmenta1 = 1 eta2= 2 pour que 1 et 2 puissent ˆetre obtenus comme sommes partielles. On a ensuitea3 = 4,a4= 8.
Pour les ˆages suivants il y a plusieurs solutions (premi`ere r´eponse d’Hip- polyte) pour satisfaire les minima des sommes des 5, 6 ou 7 premiers ˆages sans laisser de “trou”, entier non obtenu comme somme partielle.
a5 a6 a7
15 30 61
31 60,61,62
16 29 61
30 60,61,62 31 59, . . . ,63 32 58, . . . ,64
L’indication de Diophante permet `a Hippolyte d’´eliminer toutes les valeurs dea7≥d, ˆage de Diophante. Puisque Hippolyte sait alors r´epondre, cette condition ne laisse subsister qu’un triplet (a5, a6, a7) ; il faut a7 = 58, et Diophante a d= 59 ans. Les sept ˆages sont alors
1, 2, 4, 8, 16, 32, 58 ans.
1
