Enoncé D365 (Diophante) Deux cylindres
Deux cylindres semblables ont la somme de leurs hauteurs respec- tives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu’il existe une solution unique qui donne les dimen- sions des deux cylindres.
Nota : deux solides sont semblables lorsqu’il y a un agrandisse- ment, une réduction, une reproduction à l’échelle.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soientrethle rayon et la hauteur du cylindreC1,sretshle rayon et la hauteur du cylindreC2,sétant le rapport de similitude.
H S V
C1 h 2πrh+ 2πr2 πr2h
C2 sh 2πs2rh+ 2πs2r2 πs3r2h Σ h(1 +s) 2πr(h+r)(1 +s2) πr2h(1 +s3) Il s’agit donc de déterminerr, h, spar les conditions h(1 +s) = 1, r(h+r)(1 +s2) = 4,r2h(1 +s3) = 2.
On tire 1 +s= 1/hde la première,
1/h+ 1/r= 2(1 +s3)/(1 +s2) de la seconde et la troisième, 1−s+s2 = 2/r2 de la troisième et la première.
Puis 1/r= 2(1 +s3)/(1 +s2)−1−s= (1 +s)(s−1)2/(1 +s2), et l’équation ens(évidemment réciproque, puisqu’on peut intervertir les rôles de C1 etC2) est, éliminantr :
(1−s+s2)(1 +s2)2= 2(1 +s)2(s−1)4, soit en u=s+ 1/s: (u−1)u2 = 2(u+ 2)(u−2)2, ou encore
0 =u3−3u2−8u+ 16 = (u−4)(u2+u−4).
u2+u−4 ne s’annule pas sur l’intervalle (2,+∞) que peut parcourir u=s+ 1/s. La seule racine utile estu= 4, donnants= 2±√
3.
Prenants= 2 +√
3,h= 1/(3 +√ 3), 1/r= 2(3 +√
3)(1 +√
3)2/(8 + 4√
3) = (3 +√
3)/2 = 1/(2h), puis 2h=r = 1−1/√
3 pourC1, 2sh=sr= 1 + 1/√
3 pour C2 :
le diamètre (2r,2sr) de chaque cylindre est 4 fois sa hauteur.
Les surfaces sontπ(4±√
12) et les volumes π(1±1/√ 1,08).
