E327. Le problème des huit âges
Diophante (D) et Hippolyte (H) croisent une famille composée de sept membres dont les âges sont des entiers tous distincts.
D : Les sommes partielles et la somme totale de leurs âges permettent d'obtenir tous les entiers compris entre 1 et 121 (bornes incluses). Sais-tu me donner leurs âges ?
H : Le problème est indéterminé.
D : Je suis plus âgé que le plus âgé de cette famille.
H : Maintenant je sais répondre.
Quels sont les âges des sept membres de cette famille et l'âge de Diophante.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
On note les âges des membres de la famille dans l’ordre croissant.
Lemme
Montrons que :
La propriété est vraie au rang 0, car 1 est somme partielle des , ce qui implique . Supposons la propriété vraie jusqu’au rang . Il vient :
Raisonnons par l’absurde et supposons que . Alors ne pourrait être somme partielle des , ce qui contredit . On a donc nécessairement .
Ce qui démontre le lemme.
Les huits âges
D’après le lemme, on a nécessairement et .
En supposant , il vient aussi , et une somme totale inférieure ou égale à 111, ce qui contredit 121 somme partielle des . On a donc nécessairement .
En supposant , il vient aussi , et une somme totale inférieure ou égale à 119, ce qui contredit 121 somme partielle des . On a donc nécessairement .
On procède ainsi pour chaque de sorte à établir la liste des solutions possibles : somme
1 2 4 8 15 30 61 121
1 2 4 8 15 31 60 à 62 121 à 123
1 2 4 8 16 29 61 121
1 2 4 8 16 30 60 à 62 121 à 123 1 2 4 8 16 31 59 à 63 121 à 125 1 2 4 8 16 32 58 à 64 121 à 127
Puisqu’Hyppolyte sait répondre dès qu’il entend l’indice de Diophante, on en déduit finalement que : Diophante a 59 ans. Les membres de la famille sont âgés de 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 58 ans.
