E327. Le problème des huit âges
Sin>1est un entier xé, montrons alors qu'il existe un ensemble de nentiers permettant d'obtenir tous les entiers de 1 à2n−1 en sommant les éléments de chacun de ses sous-ensembles non vides.
Un ensemble à n éléments admettant 2n −1 sous-ensembles non vides, cela signie donc qu'aucune somme ne se répète et qu'il n'est pas possible d'améliorer la borne2n−1 qui est donc la somme desnéléments.
Construisons un tel ensemble par récurrence.
E1={1} trivialement.
Supposons construit Ek ={x1, . . . , xk} un tel ensemble àk >1 éléments per- mettant d'obtenir tous les entiers de 1 à 2k−1. Ainsi nous aurons xk+1 6 1 +
k
X
i=1
xi = 2k sous peine de ne pas obtenir la somme2k. Compte tenu de la remarque précédente, nous devons choisirxk+1= 2k pour éviter des répétitions de somme.
AinsiEn =
1,2, . . . ,2n−1 .
Si à présent, nous visons une cible2n−1 6c62n−1,alors nous devons avoir
n
X
i=1
xi>c, de sorte quexn>c−
n−1
X
i=1
xi=c+ 1−2n−1. Avec 6 éléments, impossible d'espérer faire mieux que 63.
Avec 7 éléments, impossible d'espérer faire mieux que 127.
Pour parvenir à la cible 121, l'aîné de la famille aura un âge compris entre 58 et 64 ans. An de lever l'indétermination, Diophante a donc 59 ans, et les sept membres auront 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 58 ans, conguration unique avec 58 ans.
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