E327 - Les huit âges Solution de Fady Hajjar
L’objectif est de pouvoir écrire en sommant tout ou partie de 7 chiffres tous les chiffres de 1 à 121 inclus.
Soient a1 < a2< a3…<a7 les âges des 7 membres de la famille.
Tout d’abord, on note que, pour obtenir les chiffres 1 et 2, il faut a1=1 et a2=2 Avec ces deux premiers chiffres, on forme 3. Donc a priori, a3=4.
On vérifie que si a3=3, ce n’est pas une solution. En effet
Si a1=1, a2=2, a3=3, on forme au maximum les chiffres 4, 5, 6 donc a4=7 est la valeur la plus élevée possible. Puis on forme les chiffres de 8 à13, donc a5max=14, puis les chiffres de 15 à 27, donc a6max=28, puis les chiffres de 29 à 55, donc
a7max=56 ; or, 1+2+3+7+14+28+56 = 111<121. a3=3 n’est pas une solution possible.
Pour la suite nous noterons les solutions en gras.
Avec 1, 2, 4, on peut former le segment [5,7], donc a4=8 est la valeur possible la plus élevée.
On vérifie que : a4=7 n’est pas solution. En effet, on a avec les valeurs ai max : 1, 2, 4, 7, [8,14], 15, [16,29], 30, [31,59], 60
Or, ai = 119<121
Il en découle que a4 = 5 ou 6 ne peut être solution non plus. Donc a4=8
Avec 1, 2, 4, 8, on peut former [9,15]
Si a5= 14, on retrouve le cas a3=3, donc ne convient pas. On a a5=15 ou 16
Si a5=15, on a avec les valeurs ai max :
1, 2, 4, 8, [9,14], 15, [16,30], 31, [32,61], 62 Or, ai =123>121.
Cette série est bien une solution mais il peut y en avoir d’autre. En effet, on peut avoir pour le dernier segment:
[32,59], 60 ou [32,60], 61. Dans ce dernier cas, ai = 121. Il s’agit d’une série solution limite.
De plus, si on suppose a6= 30, on a :
1, 2, 4, 8, [9,14], 15, [16,29], 30, [31,60], 61 Or, ai = 121. Il s’agit d’une série solution limite.
De même, on développe les solutions pour a5=16. On a pours les ai max : 1, 2, 4, 8, [9,15], 16, [17,31], 32, [33,63], 64 et ai=127
Autres solutions pour le dernier segment :
[33,62], 63 - [33,61], 62 -[33,60], 61 -[33,59], 60 - [33,58], 59 et
[33,57], 58. Dans ce dernier cas, ai = 121. Il s’agit d’une série solution limite.
Si l’on fait varier a6, on trouve : Si a6=31
1, 2, 4, 8, [9,15], 16, [17,30], 31, [32,61], 62 et ai=124
Autres solutions pour le dernier segment :
[32,60], 61 - [32,59], 60 et [32,58], 59. Dans ce dernier cas, ai = 121. Il s’agit d’une série solution limite.
Si a6=30
1, 2, 4, 8, [9,15], 16, [17,29], 30, [31,60], 61 et ai=122
Autre solution pour le dernier segment : [31,59], 60 et ai=121 => série limite
Si a6 = 29
1, 2, 4, 8, [9,15], 16, [17,28], 29, [30,60], 61 et ai=121, série limite
Nous avons donc dressé l’ensemble des solutions possibles.
La première déclaration de H est exacte.
La deuxième déclaration de D laisse supposer que la connaissance de son âge rend la solution unique.
Les solutions possibles pour a7 sont {58,59,60,61,62,63,64}
Pour que a7 n’aie qu’une seule solution possible, il faut que l’âge de Diophante soit égal à 59 ans. Dans ce cas, a7 = 58 ans est la solution et la série correspondante est bien unique. On a donc la série :
1, 2, 4, 8, 16, 32, 58 et aD = 59
