Le problème des huit âges
Problème E327 de Diophante
Diophante (D) et Hippolyte (H) croisent une famille composée de sept membres dont les âges sont des entiers tous distincts.
D : Les sommes partielles et la somme totale de leurs âges permettent d'obtenir tous les entiers compris entre 1 et 121 (bornes incluses). Sais-tu me donner leurs âges ? H : Le problème est indéterminé.
D : Je suis plus âgé que le plus âgé de cette famille.
H : Maintenant je sais répondre.
Quels sont les âges des sept membres de cette famille et l'âge de Diophante.
Solution
Avec p nombres, il est possible d’écrire 2p – 1 sommes partielles. Pour obtenir un intervalle maximum, seule la solution 1, 2, 4, … , 2p-1 convient. Ainsi avec les sept nombres 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, on recouvre l’intervalle [1,127].
Cette liste supporte de légères modifications pour couvrir un intervalle couvrant l’intervalle [1,121]. Par exemple : 1, 2, 4, 8, 16, 30, 63 ; 1, 2, 4, 8, 15, 31, 62 ; …
Parmi toutes les options convenables, la liste 1, 2, 4, 8, 16, 32, 58 comprend la plus petite valeur possible du nombre le plus grand.
Si Diophante avait strictement plus de 59 ans, alors Hippolyte ne pourrait pas conclure.
Diophante a 59 ans, le papa 58 ans, la maman 32 ans, l’aîné(e) (conçu(e) avant le mariage) 16 ans et les suivants 8 ans, 4 ans, 2 ans et un an.
