E327. Le problème des huit âges
Diophante (D) et Hippolyte (H) croisent une famille composée de sept membres dont les âges sont des entiers tous distincts.
D : Les sommes partielles et la somme totale de leurs âges permettent d'obtenir tous les entiers compris entre 1 et 121 (bornes incluses). Sais-tu me donner leurs âges ?
H : Le problème est indéterminé.
D : Je suis plus âgé que le plus âgé de cette famille.
H : Maintenant je sais répondre.
Quels sont les âges des sept membres de cette famille et l'âge de Diophante.
Soient 1, 2, 4, 8, 16, 32 les âges des 6 plus jeunes personnes.
Les sommes partielles de ces 6 âges permettent d’obtenir tous les nombres de 1 à 63 = 26 – 1.
Si l’âge de la septième personne (la plus âgée) est compris entre 58 et 64, on obtient tous les nombres de 1 à 121 (=63+58).
L’âge de Diophante rend le problème soluble, donc Diophante a 59 ans et les âges des 7 personnes sont : 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 58.
Ph laugerat
