E327 Le problème des huit âges Solution de Jérôme Piérard
Les sommes partielles et la somme totale des âges des 7 membres permettant d'obtenir tous les entiers compris entre 1 et 121, les deux plus jeunes sont nécessairement âgés de 1 et 2 ans.
La somme de leurs âges ne permet d'obtenir que le chiffre 3 et le troisième membre a donc au maximum 4 ans.
Les sommes partielles et la somme totale des trois premiers permet d'obtenir les chiffres 4 à 7 et le quatrième membre a donc au maximum 8 ans.
Selon le même raisonnement, on trouve pour âges maximum respectifs des 3 suivants : 16, 32 64.
L'âge maximum possible du nième membre correspondent à la n-1ème puissance de 2.
Le fait que la seule information que Diophante est plus âgé que le plus âgé de la famille permette à Hyppolite de répondre implique que l'âge du membre le plus âgé soit l'âge minimum répondant aux conditions de l'énoncé.
Cela suppose que les 6 premiers âges correspondent aux maxima possibles soit 1,2,4,8,16 et 32 dont la somme est 63.
L'âge du dernier membre est 58 ans et Diophante a 59 ans au moment de la conversation.
