E320 Le problème impossible de Barry Wolk et ses variantes [**** à la main]
Solution
Le problème de Barry Wolk :
On détermine pas à pas en fonction des déclarations de Sébastien et de Pierre tous les couples d’entiers susceptibles d’être retenus jusqu’à n’en retenir plus qu’un.
Soit S la somme des deux nombres et P leur produit.
Sébastien : Je ne vois pas comment Pierre pourrait trouver ma somme.
Cela signifie que tous les produits P associés à la somme S détenue par Sébastien sont obtenus de deux manières ou plus. Si par exemple Sébastien détient la somme S=10, à cette somme on peut associer les produits 2*8 = 16, 3*7=21, 4*6 = 24 et 5*5 = 25. Si deux des produits 16 et 24 peuvent être obtenus avec une autre somme (par exemple 4*4 = 16 de somme 8 et 3*8 = 24 de somme 11), à l’inverse le nombre 21 est le produit de deux nombres premiers et il n’y a pas d’autres couples d’entiers >1 donnant le même produit.
Même remarque s’agissant de 25. En conclusion, Sébastien ne peut pas avoir le nombre 10. S’il avait ce nombre, Pierre détenant 21 répondrait immédiatement : P=21 et S=10, d’où les deux nombres 3 et 7.
La conjecture de Goldbach nous permet d’éliminer toutes les valeurs paires de S. En effet cette conjecture (largement vérifiée pour les valeurs qui nous intéressent) permet de dire que tout nombre pair peut
s’exprimer comme la somme de deux nombres premiers. Comme le produit de deux nombres premiers aboutit à un résultat unique du produit, les valeurs paires de S sont exclues d’entrée de jeu.
De même toutes les valeurs impaires de S qui s’expriment sous la forme S = 2 + p avec p nombre premier sont à éliminer : il s’agit de 5 = 2+3, 7 = 2+5, 9 = 2+7, 13 = 2+11, 15 = 2=13, 19 = 2 + 17, 21 = 2+19, 31 = 2 + 29, 33 = 2+31, 39 = 2+37, 43 = 2+41, 49 = 2+47 etc… Les produits de la forme 2*p sont également uniques.
En se limitant aux valeurs de S inférieures ou égale à 59, on obtient la liste exhaustive des produits P associés à chacune de ces valeurs :
Les valeurs de P qui apparaissent 2 ou plusieurs fois dans le tableau sont repérées par des couleurs
identiques. C’est ainsi que la valeur P = 30 qui peut être obtenue par le couple (5,6) de somme 11 et par le couple (2,15) de somme 17 est coloriée en rose saumon etc…. A noter que le coloriage des paires ou n-uples de produits P identiques n’est exhaustif que pour les produits figurant sur des premières lignes mais ceci n’est pas gênant pour la suite du raisonnement.
Pierre : Ce que tu viens de dire ne m’est d’aucun secours. Je ne sais pas déterminer ta somme.
Pierre ayant établi de son côté le même tableau que celui de Sébastien, ne peut rester dans l’incertitude que si son produit apparaît sur deux lignes ou plus. Supposons que P=18. Ce produit apparaît une fois et une seule dans le tableau .Dès lors, s’il l’avait, Pierre pourrait annoncer immédiatement que le somme S vaut 11 et que les deux nombres valent respectivement 2 et 9.
Pierre supprime donc de la table précédente tous les produits appartenant à des cases non coloriées et obtient la table ci-après :
Pierre établit donc une table de correspondance entre le produit P qu’il détient et les valeurs de S du tableau ci-dessus qui mènent à P et sont au nombre de 2 ou plus.
Il en résulte que les valeurs possibles de P appartiennent à une liste (L) dont les premiers termes sont dans l’ordre croissant : 30, 42, 60, 70, 72, 78 , 90, 102, 110, 112, 120, 126, etc… et que l’on peut reprendre dans la tableau ci-après :
Sébastien : Alors maintenant je connais ton produit.
Sébastien ne peut tenir ce propos que s’il existe une valeur et une seule de la liste (L) pour laquelle il y a une valeur unique de S. On voit immédiatement que c’est la première valeur P=30 qui ne peut être obtenue qu’avec S=11. Sébastien détient donc la somme 11 et Pierre le produit 30. Voir dans le tableau ci-dessus les deux cases sur fond jaune.
On en déduit que les deux nombres cherchés sont 6 et 5.
Variante
Pour les deux premières déclarations de Sébastien et de Pierre, on reprend rigoureusement le même raisonnement que précédemment et l’on se reporte au dernier tableau ci-dessus.
Quand au 3ème tour, Sébastien parle de la pluie et du beau temps, c’est une façon détournée d’avouer qu’il ne sait pas répondre. On peut en déduire qu’il ne détient pas la valeur S=11 et qu’a contrario il détient l’une quelconque des valeurs S=17,23,27,… auxquelles peuvent être associées de multiples valeurs de P.
Au 4ème tour, Pierre annonce la somme de Sébastien. Il détient donc le produit P auquel est associée désormais une valeur et une seule de S. Cette unique valeur de P est 30 car S=11 ayant été précédemment éliminée, il ne reste plus que S=17.On vérifie aisément à l’aide du tableau ci-dessus qu’à toute autre valeur de P, il correspond au moins deux valeurs différentes de S.
Le pseudo-bulletin météorologique de Sébastien permet ainsi à Pierre d’annoncer que la somme est 17. Le produit qu’il détient vaut 30. Ces deux nombres appartiennent aux cases du tableau sur fond jaune.
Les deux nombres sont alors 2 et 15.
