X 99 option PC : Math1 Premi`ere partie 21 1.

(1)

X 99 option PC : Math1

Premi` ere partie 21

1. Si (v

1

, v

2

, ..., v

n

) d´esigne une base orthonorm´ee de R

ⁿ

formée de vecteurs propres de la matrice M , respectivement associés à (λ

1

, λ

2

, ..., λ

n

), on peut ´ecrire q

M

(x) =

P

n i=1

λ

i

X

_i²

o` u x =

P

n i=1

X

i

v

i

.

Pour tout x élément de S, on déduit l’encadrement λ

min

(M ) ⁶ q

M

(x) ⁶ λ

max

(M ) sachant que k x k

²

= P

ⁿ

i=1

X

_i²

= 1. . . 2 De plus, le minorant λ

min

(M ) peut s’´ecrire q

M

(v

j

) o` u j est un indice tel que λ

min

(M) = λ

_j

, donc la borne inf´erieure α = λ

_min

.

Le raisonnement est identique pour β = λ

max

(M ). . . 2 2. Les trois caractérisations demandées, ici, sont des résultats du cours : ils se redémontrent

à l’aide de la question précédente. . . 3 3. Soit u l’endomorphisme de R

ⁿ

de matrice M, on sait que u est diagonalisable et que

ses valeurs propres sont > 0. u = P

λ∈Sp(u)

λp

λ

o` u p

λ

d´esigne le projecteur orthogonal sur E

λ

(u). v = P

λ∈Sp(u)

√ λp

λ

répond à la question. . . 2 Montrons l’unicité : si w

²

= u est un endomorphisme d´efini positif alors µ ∈ Sp(w) ⇒ µ

²

∈ Sp(u) et E

µ

(w) ⊂ E

µ²

(u). Comme les valeurs propres sont toutes > 0 alors l’application µ ∈ Sp(w) 7→ µ

²

∈ Sp(u) est bijective. On a alors les inclusions

E = X

µ∈Sp(w)

E

_µ

(w) ⊂ X

µ∈Sp(w)

E

_µ2

(u) = E

donc E

µ

(w) = E

_µ²

(u) par conséquent w est déterminé de manière unique. . . 5 4. a. On calcule la différentielle de f

M

directement

f

M

(x + h) − f

M

(x) = (x

^T

+ h

^T

)M (x + h) + 2c

^T

(x + h) − x

^T

Mx − 2c

^T

x

= 2(x

^T

M + c

^T

)h + h

^T

Mh

car x

^T

Mh = h

^T

Mx (scalaire). On a alors D f

M

(x)(h) = 2(Mx + c)

^T

h soit encore grad f

M

(x) = 2(Mx + c).

Conclusion : l’unique point critique est donn´e par la relation x

0

= − M

⁻¹

c. . . 4 b. La question précédente fournit directement le résultat, en effet

f

M

(x

0

+ h) − f

M

(x

0

) = h

^T

Mh = q

M

(h) ^> 0

et comme q

M

est d´efinie positive on peut affirmer que x

0

est l’unique minimum de f

M

sur R

ⁿ

. . . 3

1

(2)

Deuxi` eme partie 34

5. a) Un réel x étant fixé, on étudie les variations de g

x

: y 7→ g

x

(y) = ay

²

+ b(x − y)

²

de d´eriv´ee g

_x^′

(y) = 2[(a + b)y − bx]. Le r´eel a + b ´etant strictement positif, la fonction g

x

admet un minimum en y

0

= bx

a + b dont la valeur est g

x

(y

0

) = (a//b)x

²

. . . 2 b) La fonction g

x

ci-dessus ´etant strictement monotone sur les intervalles ] − ∞ , y

0

]

et [y

0

, + ∞ [, on sait que (a//b)x

²

est un minimum strict de g

x

; en cons´equence, la relation (a//b)x

²

= ay

₀²

+ bz

₀²

est v´erifi´ee uniquement pour le couple (y

0

, z

0

) o` u

y

0

= bx

a + b et z

0

= x − y

0

= ax

a + b . 1

c) a//b est la résistance équivalente du circuit comportant en parallèle les résistances a et b. Si x = y + z est l’intensité du courant principal, la loi d’Ohm s’écrit U = ay = bz = (a//b)x ce qui conduit à la seule répartition possible des intensités de courant : y = y

0

et z = z

0

. De plus, l’´egalit´e (a//b)x

²

= ay

₀²

+ bz

₀²

exprime que la puissance dissipée par le circuit est la somme des puissances dissipées dans chaque “branche”. En fait la répartition des intensités se fait de telle fa¸con qu’il y a minimisation de l’énergie consommée.. . . 3 6. a) Pour tout vecteur x non nul, q

_A+B

(x) = q

_A

(x) + q

_B

(x) > 0. La matrice sym´etrique

A + B est donc inversible car définie positive.. . . 2 La double égalité

(A + B)

⁻¹

(A + B) = I

n

= (A + B)(A + B)

⁻¹

livre les relations :

(A + B)

⁻¹

A = − (A + B)

⁻¹

B et A(A + B )

⁻¹

= − B(A + B)

⁻¹

et en multipliant par B `a droite ou `a gauche,

B(A + B)

⁻¹

A = − B(A + B)

⁻¹

B = A(A + B )

⁻¹

B. Si nous notons : M (A, B) = A(A + B )

⁻¹

B , nous venons de démontrer la symétrie M (A, B) = M(B, A). Il reste alors à prouver que M(A, B) = A − A(A + B)

⁻¹

A ce qui r´esulte de :

A[(A + B)

⁻¹

B − I

n

+ (A + B)

⁻¹

A] = A[(A + B)

⁻¹

(A + B) − I

n

] = 0

n

. 3 b) Soient y et z des vecteurs de R

ⁿ

tels que y + z = x.

De q

_B

(z) = q

_B

(x − y) = q

_B

(x) − 2ϕ

_B

(x, y) + q

_B

(y), on d´eduit la relation : q

A

(y) + q

B

(z) = q

A+B

(y) − 2ϕ

B

(x, y) + q

B

(x) = q

A+B

(y) − 2(Bx | y) + q

B

(x) = f

C

(y)

o` u f

_C

est la fonction définie au 4 à partir de la matrice symétrique définie positive C = A + B, avec c = − Bx et r = q

_B

(x). Or on sait d’apr`es cette question 4 que f

_C

admet un point critique unique

y

0

= − (A + B)

⁻¹

c = (A + B)

⁻¹

Bx 3 et que f

_C

(y

₀

) est la borne inf´erieure de f

_C

sur R

ⁿ

. On en d´eduit l’existence de la borne inf´erieure : J

_x

= inf

y+z=x

[q

_A

(y) + q

_B

(z)] = f

_C

(y

₀

) et sa valeur explicite : J

x

= q

A+B

(y

0

) − 2ϕ

B

(x, y

0

) + q

B

(x) = − ϕ

B

(x, y

0

) + q

B

(x)

sachant que q

_A+B

(y

₀

) = y

₀^T

(A + B )y

₀

= y

₀^T

Bx = ϕ

_B

(x, y

₀

).

(3)

Soit, finalement J

_x

= − x

^T

By

₀

+ q

_B

(x) = − x

^T

B(A + B)

⁻¹

Bx + q

_B

(x) = q

_M

(x) o` u M = B − B(A + B)

⁻¹

B est la matrice étudiée à la question précédente.

M est sym´etrique car

M

^T

= [A(A + B)

⁻¹

B]

^T

= B

^T

(A + B )

⁻^1T

A

^T

= B(A + B)

⁻¹

A = M

car A + B étant symétrique définie positive, il en est de même de (A + B)

⁻¹

. Enfin M est positive car (Mx | x) = inf[(Ay | y)

| {z }

>

0

+ (Bz | z)

| {z }

>

0

] ^> 0. . . 3 L’unicité de la matrice M = A//B résulte de l’unicité, dans une base donnée, de la matrice associée à une forme quadratique. . . 2 c) Pour n = 1, on peut écrire A = a et B = b o` u a, b sont des réels positifs tels que

a + b > 0 et la matrice M est la matrice d’unique coefficient : a//b. . . 0 7. a) La symétrie A//B = B//A est démontrée au 6.a. . . 1 b) La régularité de A permet les transformations suivantes : A + B = (I

n

+ BA

⁻¹

)A

et A//B = A(A + B )

⁻¹

B = AA

⁻¹

(I

_n

+ BA

⁻¹

)

⁻¹

B = (I

_n

+ BA

⁻¹

)

⁻¹

B. . . . 1 c) A et B ´etant inversibles, (BA

⁻¹

+ I

n

)

⁻¹

= [B(A

⁻¹

+ B

⁻¹

)]

⁻¹

= (A

⁻¹

+ B

⁻¹

)

⁻¹

B

⁻¹

:

d’o` u le r´esultat. . . 1 8. a) A = Diag(a

i

, i = 1 . . . n) et B = Diag(b

i

, i = 1 . . . n) de coefficients a

i

et b

i

positifs

tels que a

i

+ b

i

> 0. Alors, (A + B )

⁻¹

= Diag(1/(a

i

+ b

i

), i = 1 . . . n) et, en cons´equence,

A//B = Diag(a

i

//b

i

, i = 1 . . . n). 2

b) A et B commutent, donc A et B sont simultan´ement diagonalisables et A//B est diagonalisable dans la mˆeme base. En outre, on a A//B = P Diag(λ

i

//µ

i

)P

^T

o` u P ∈ O(n). . . 2 9. Soit x un vecteur fix´e de R

ⁿ

. On a l’expression suivante :

q

(A//B)//C

(x) = inf

y+z=x

[q

A//B

(y) + q

C

(z)] = inf

y+z=x

[ inf

u+v=y

[q

A

(u) + q

B

(v)] + q

C

(z)]

c’est-`a-dire q

_(A//B)//C

(x) = inf

u+v+z=x

[q

_A

(u) + q

_B

(v) + q

_C

(z)]. Cette dernière expression montre le rôle symétrique de A, B, C et par conséquent,

q

(A//B)//C

(x) = q

(B//C)//A

(x) = q

A//(B//C)

(x), pour tout vecteur x.

L’associativité de // en résulte, par unicité de la matrice M = (A//B)//C . . . 4 Remarque : on peut aussi obtenir ce résultat par le calcul ou, remarquer que, si C est inversible alors (A//B)//C = (A

⁻¹

+ B

⁻¹

+ C

⁻¹

)

⁻¹

= A//(B//C ) et utiliser la densit´e de GL

n

( R ) dans M

ⁿ

( R ).

10. L’´etude du 6.b) montre l’ existence de y

0

= (A + B)

⁻¹

Bx et z = x − y

0

v´erifiant ces conditions.

En effet, on a vu que

( ∗ ) q

_A

(y

₀

) + q

_B

(z

₀

) = inf

y∈Rⁿ

[f

_A+B

(y)] = ((A//B)x | x)

et il est clair que Ay

₀

= (A//B)x et Bz

₀

= Bx − By

₀

= (B − B(A+B)

⁻¹

B)x = (A//B)x.

Unicit´ e : un couple (y

₀

, z

₀

) vérifiant les conditions requises vérifie nécessairement la

condition ( ∗ ) ci-dessus, y

0

est donc l’unique point critique de la fonction f

A+B.

D’o` u

l’unicit´e de y

₀

et de z

₀

= x − y

₀

. . . 2

(4)

11. Interpr´ etations physiques :

La question 9 dit que la résistance généralisée équivalente d’un réseau mettant en par- allèle trois résistances généralisées A, B, C peut se calculer de manière associative en groupant dans un ordre quelconque deux de ces résistances. . . 2 La question 10 généralise à deux réseaux d’ordre n montés en parallèle l’interprétation physique du 5.c. . . 2

Troisi` eme partie 34 12. a) La question 5.a permet d’´ecrire : q

A

(x)//q

B

(x) = inf

λ+µ=1

[q

A

(x)λ

²

+q

B

(x)µ

²

] et on sait cette borne inf´erieure atteinte pour un couple de r´eels (λ

0

, µ

0

) tel que λ

0

+ µ

0

= 1 (d’ailleurs unique). Posons y

0

= λ

0

x et z

0

= µ

0

x.

Ces deux vecteurs de R

ⁿ

v´erifient y

0

+ z

0

= x et

q

A

(y

0

) + q

B

(z

0

) = q

A

(x)λ

²₀

+ q

B

(x)µ

²₀

= q

A

(x)//q

B

(x).

En cons´equence, q

A

(x)//q

B

(x) ^> inf

y+z=x

[q

A

(y) + q

B

(z)] = q

A//B

(x). . . 5 b) Les hypoth`eses de cette question assurent l’existence des matrices :

A//C, B//D, et (A + B)//(C + D).

Soit x un vecteur de R

ⁿ

: il existe des vecteurs y

₀^′

et z

^′₀

tels que y

₀^′

+ z

^′₀

= x et ([(A + B)//(C + D)]x | x) = q

A+B

(y

₀^′

) + q

C+D

(z

₀^′

) = q

A

(y

₀^′

) + q

B

(y

^′₀

) + q

C

(z

^′₀

) + q

D

(z

₀^′

)

d’o` u :

([(A + B)//(C + D)]x | x) ^> inf

y+z=x

[q

_A

(y) + q

_C

(z)] + inf

y+z=x

[q

_B

(y) + q

_D

(z)]

= ((A//C)x | x) + ((B//D)x | x) 4 Interpr´ etation physique :

Consid´erons :

– un réseau n1 o` u sont montés en s´ erie les deux réseaux “A et C en parall` ele” puis

“B et D en parall` ele”.

A

C

B

D

– un réseau n2 o` u sont montés en parall` ele les deux réseaux “A et B en s´ erie ” puis

“C et D en s´ erie ”.

(5)

A

C

B

D

Pour une intensité de courant x = I donnée, la puissance dissipée dans le réseau n1 est inférieure à celle dissipée dans le réseau n2. . . 3 c) Pour tout couple (y, z) de R

²

v´erifiant y + z = 1 on a

α

_i

y

²

+ β

_i

z

²

^> α

_i

//β

_i

d’o` u, en additionnant ces k ´egalit´es :

X

^k

i=1

α

i

| {z }

=α

y

²

+ X

^k

i=1

β

i

| {z }

=β

z

²

^>

X

k

i=1

α

i

//β

i

| {z }

=m

.

m est donc un minorant de { αy

²

+ βz

²

, y + z = 1 } donc α//β ^> m soit X

k

i=1

(α

i

//β

i

) ⁶ ( X

k

i=1

α

i

)//(

X

k

i=1

β

i

). 5

Remarque : on peut aussi utiliser le 12.a avec A et B matrices diagonales et x = (1, . . . , 1) (mais il y a un probl`eme car il se peut que ni A ni B ne soit d´efinie positive).

d) En utilisant les expressions suivantes des ´el´ements diagonaux de A, B et de C = A//B : a

ii

= q

A

(e

i

), b

ii

= q

B

(e

i

), c

ii

= q

A//B

(e

i

) , et les inégalités de 12.a et 12.c, nous déduisons :

Tr(A//B) = X

n

i=1

q

_A//B

(e

i

) ⁶ X

n

i=1

[q

A

(e

i

)//q

B

(e

i

)] ⁶ [ X

n

i=1

q

A

(e

i

)]//[

X

n

i=1

q

B

(e

i

)]

6 Tr(A)// Tr(B). 4 13. a) Soit un vecteur x ∈ R

ⁿ

\ { 0 } tel que Ax = λx et Bx = µx.

Il est clair que (A + B)x = (λ + µ)x avec λ + µ > 0 (puisque A + B est d´efinie positive) donc (A + B)

⁻¹

x = (λ + µ)

⁻¹

x.

Par suite

(A//B)x = A(A + B)

⁻¹

Bx = A(A + B)

⁻¹

µx = A(λ + µ)

⁻¹

µx = (λ//µ)x. 1 b) Soit x

0

un vecteur propre unitaire de A//B associ´e `a sa plus petite valeur pro-

pre λ

min

(A//B). On sait (voir question 1) que λ

min

(A//B) = q

A//B

(x

0

) et, par cons´equent, qu’il existe des vecteurs y

0

, z

0

de R

ⁿ

tels que y

0

+ z

0

= x

0

et λ

min

(A//B) = q

A

(y

0

) + q

B

(z

0

). On en d´eduit que

λ

min

(A//B) ^> λ

min

(A) k y

0

k

²

+ λ

min

(B) k z

0

k

²

,

puis par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz,

(6)

λ

min

(A//B) ^> λ

min

(A)α

²₀

+ λ

min

(B )β

₀²

o` u α

0

= (y

0

| x

0

) et β

0

= (z

0

| x

0

). Or

α

0

+ β

0

= (y

0

+ z

0

| x

0

) = (x

0

| x

0

) = 1 et λ

min

(A)//λ

min

(B) = inf

α+β=1

λ

min

(A)α

²

+ λ

min

(B)β

²

. En conclusion,

λ

_min

(A//B) ^> λ

_min

(A)α

²₀

+ λ

_min

(B)β

₀²

^> λ

_min

(A)//λ

_min

(B). 8 c) La r´eponse est affirmative car, pour A =

1 0 0 2

et B =

2 0 0 1

, on obtient : A//B =

1//2 0 0 2//1

o` u 1//2 = 2//1 = 2 3 donc λ

min

(A//B) = 2

3 > λ

min

(A)//λ

min

(B) = 1//1 = 1

2 . 4

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