X 99 option PC : Math1

SP´ ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL´ E

X 99 option PC : Math1

On attachera la plus grande importance ` a la clart´ e, ` a la pr´ ecision et ` a la concision de la r´ edaction.

⋆ ⋆ ⋆ Notations

Pour tout entier n ^> 1, on munit R ⁿ du produit scalaire canonique, not´e ( | ), et de la norme euclidienne associ´ee, not´ee k k . On d´esigne par S ⁿ l’ensemble des matrices carr´ees sym´ etriques,

`a n lignes et n colonnes, `a coefficients r´eels. On identifie une matrice M ∈ S ⁿ `a une application lin´eaire de R ⁿ dans R ⁿ , et Mx d´esigne l’image par M d’un ´el´ement x de R ⁿ .

On dit que M ∈ S ⁿ est positive si, pour tout x dans R ⁿ , (Mx | x) ^> 0.

On dit que M ∈ S ⁿ est d´ efinie positive si, pour tout x non nul dans R ⁿ , (Mx | x) > 0.

Premi` ere partie propri´ et´ es des matrices sym´ etriques On consid`ere une matrice sym´etrique M ∈ S ⁿ et l’on pose, pour tout x dans R ⁿ ,

q M (x) = (Mx | x).

Soit S = { x ∈ R ⁿ | k x k = 1 } la sph`ere unit´e de R ⁿ .

1. Montrer que la restriction `a S de la fonction q M est born´ee et atteint sa borne inf´erieure α = inf

kxk =1 q M (x) et sa borne sup´erieure β = sup

kxk =1

q M (x).

Exprimer α et β en fonction des valeurs propres de la matrice M . 2. Soient λ 1 6 λ 2 6 . . . ⁶ λ n les valeurs propres de M .

a) Montrer que M est positive si et seulement si λ 1 > 0.

b) Montrer que M est d´efinie positive si et seulement si λ 1 > 0.

c) Montrer que M est d´efinie positive si et seulement si M est positive et inversible.

3. Si M est d´efinie positive alors montrer qu’il existe une unique matrice not´ee √

M d´efinie positive telle que M = √

M ² .

4. On suppose dans cette question que M est d´ efinie positive. Soit c un ´el´ement de R ⁿ et r un nombre r´eel. On pose, pour tout x ∈ R ⁿ ,

f M (x) = q M (x) + 2(c | x) + r.

a) Montrer que f M poss`ede un point critique unique, x 0 = − M <sup>− 1</sup> c (on rappelle qu’un point critique est un point o` u le gradient est nul). On pourra faire le calcul si n = 2 et g´en´eraliser.

b) Montrer que f M (x 0 ) est la borne inf´erieure de f M sur R ⁿ (´etudier la diff´erence f M (x 0 + h) − f M (x 0 )).

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Deuxi` eme partie : l’addition parall` ele

5. Soient a et b deux nombres r´eels, a ^> 0, b ^> 0, a + b > 0. On pose a//b = ab

a + b , et l’on appelle a//b la somme parall` ele de a et b.

a) Montrer que, pour tout x de R , (a//b)x ² = inf

y + z = x (ay ² + bz ² ).

b) Pour quels couples (y 0 , z 0 ) de nombres r´eels, de somme x, la relation (a//b)x ² = ay ² 0 + bz 0 ²

est-elle satisfaite ?

c) D’un point de vue Physique, quelle interpr´etation des r´esultats pr´ec´edents peut-on donner en ´electricit´e ?

6. On g´en´eralise la notion de somme parall`ele `a certaines matrices sym´etriques. Soient A ∈ S ⁿ et B ∈ S ⁿ .

On suppose dans toute la suite du probl` eme que A est d´ efinie positive et B positive.

a) Montrer que A + B est inversible et que

A(A + B) ^{− 1} B = B (A + B) ^{− 1} A = A − A(A + B) ^{− 1} A = B − B(A + B) ^{− 1} B.

b) Montrer que, pour tout x ∈ R ⁿ , le nombre r´eel

y + inf z = x ((Ay | y) + (Bz | z))

existe et est ´egal `a (Mx | x), o` u M est une matrice sym´etrique positive, que l’on d´eterminera en fonction de A et B (on pourra utiliser les r´esultats de la question 4.). Montrer que la matrice M est unique.

c) Que vaut M si A et B appartiennent `a S ¹ ?

Dans toute la suite, on notera M = A//B, et l’on appellera A//B la somme parall`ele de A et B.

7. a) Montrer que A//B = B//A.

b) Montrer que

A//B = (BA ^{− 1} + I) ^{− 1} B.

c) Montrer que, si B est d´efinie positive,

A//B = (A ^{− 1} + B ^{− 1} ) ^{− 1} . 8. a) Calculer A//B lorsque A et B sont diagonales.

b) Que peut-on dire de A//B lorsque AB = BA ?

9. On suppose que B est d´efinie positive. Montrer que, pour toute matrice C ∈ S ⁿ positive, (A//B)//C = A//(B//C ).

10. Soit x ∈ R ⁿ . Montrer qu’il existe un unique couple (y 0 , z 0 ) d’´el´ements de R ⁿ tel que



 

 

y 0 + z 0 = x,

((A//B)x | x) = (Ay 0 | y 0 ) + (Bz 0 | z 0 ),

(A//B)x = Ay 0 = Bz 0 .

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11. Interpr´ etation physique :

De mani`ere sch´ematique, un r´eseau

´electrique d’ordre n est un ensemble de n

“entr´ee/sorties” coupl´ees ob´eissant `a la loi d’Ohm g´en´eralis´ee U = AI :

- la “tension ” U est le vecteur de com- posantes (u 1 , . . . , u n ), u k ´etant la tension entre l’entr´ee num´ero k et la sortie num´ero k ;

le “courant” I est le vecteur de com- posantes (i 1 , . . . , i n ) ;

A est la “r´esistance g´en´eralis´ee” du r´eseau, d´ecrite par une matrice sym´etrique d´efinie positive.

La puissance dissip´ee dans le r´eseau est alors P = (U | I).

•

•

•

•

•

•

i ₁

i _n

i ₁

i _n

•

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•

•

•

•

Si deux r´eseaux d’ordre n, de r´esistance g´en´eralis´ees A et B sont mont´es en parall`ele, alors (A//B) est la r´esistance g´en´eralis´ee ´equivalente. La r´epartition du courant dans les deux r´eseaux se fait suiv- ant la loi de Kirchhoff, I = I 1 + I 2

A

B I ₁

I I

I ₂ Interpr´eter physiquement les r´esultats des questions 9. et 10.

Troisi` eme partie : quelques propri´ et´ es de la somme parall` ele 12. a) Montrer que, pour tout x dans R ⁿ ,

((A//B)x | x) ⁶ (Ax | x)//(Bx | x).

b) Montrer que si A, B, C, D ∈ S ⁿ sont positives et si A et B sont d´efinies positives, pour tout x dans R ⁿ ,

((A//C)x | x) + ((B//D)x | x) ⁶ ((A + B)//(C + D))x | x . Interpr´eter physiquement cette in´egalit´e.

c) Soient α 1 , α 2 , . . . , α k et β 1 , β 2 , . . . , β k des nombres r´eels positifs ou nuls. Montrer que

k

X

i =1

(α i //β i ) ⁶

k

X

i =1

α i

! //

k

X

i =1

β i

!

o` u on suppose que α i + β i > 0 pour tout i.

d) En d´eduire que les traces des matrices A, B et A//B, v´erifient

Tr(A//B) ⁶ (Tr A)//(Tr B).

4 SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´ E

13. a) Montrer que tout vecteur propre commun `a A et B est un vecteur propre de A//B.

b) Montrer que

λ 1 (A//B) ^> λ 1 (A)//λ 1 (B)

o` u λ 1 (A) et λ 1 (B ) d´esignent respectivement les plus petites valeurs propres de A et B .

c) L’in´egalit´e pr´ec´edente peut-elle ˆetre stricte ?