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Universit´e de Cergy-Pontoise Juin 2016
Math´ematiques-MS3, session 2
Dur´ee 2 heures, les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es Questions de cours :
(1) SoitP∞
n=0anune s´erie telle quean>0. Enoncer le crit`ere de D’Alembert.
(2) On consid`ere la s´erie enti`ereP∞ n=1
n4
n!xn, o`un! = 1×2× · · · ×n. Calculer son rayon de convergence.
Exercice 1:
On consid`ere l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
2 1 x2−1dx.
(1) Justifier la convergence de cette int´egrale g´en´eralis´ee.
(2) D´eterminer deux constantesα etβ telles que pour tout x∈[2,+∞[, 1
x2−1 = α
x−1 + β x+ 1. (3) SoitA >1, calculer la valeur de l’int´egrale RA 1
1
x2−1dx. Puis en d´eduire la valeur de l’int´egraleR+∞
1 1 x2−1dx.
Exercice 2:
Soitf(x) une fonction 2π-p´eriodique d´efinie sur Rtelle que f(x) =|x|, ∀x∈[−π;π].
(1) Tracer le graphique def(x) sur l’intervalle [−3π; 3π], et ´etudier la parit´e de f(x).
(2) Calculer les coefficients de Fourier de f(x).
(On remarque que cos(nπ) = (−1)n.)
(3) Enoncer la th´eor`eme de Dirichlet, puis calculer la valeur de la s´erie P+∞
m=0 1 (2m+1)2. Exercice 3:
Soit Ω le domaine d´efini par Ω ={(x;y)|y ≥0, x2+y2 ≤1}. On consid`ere le changement de coordonn´ees suivant:
x=rcosθ, y=rsinθ.
Quel est le Jacobien de ce changement de coordonn´ees? Calculer l’int´egrale doubleR R
Ωe−x2−y2dxdy.
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Exercice 4:
Soitγ : [0; 2π]→R2 la courbe param´etr´ee ferm´ee d´efinie par γ(t) = (2 cost; 4 sint).
(1) En utilisant la d´efinition de l’int´egrale curviligne, calculer Z
γ
−2
3ydx+1 3xdy.
(2) En appliquant le th´eor`eme de Green-Riemann, justifier que la valuer de cette int´egrale curviligne est ´egale `a l’aire du domaine entour´e par γ.
