D1851 L’orthocentre prend sa place

Problème proposé par Pierre-Jean Laurent

Pour un point P quelconque d'un triangle acutangle ABC, on suppose seulement connues les distances PA, PB, PC aux trois sommets ainsi que les distances PA', PB', PC' aux trois côtés (A',B',C' désignant les projections orthogonales de P sur les trois côtés).

Les principaux points remarquables du triangle réalisent le minimum d'une fonction n'utilisant que ces 6 distances.

Ainsi par exemple :

- Le centre de gravité, intersection des médianes, réalise le minimum sur le triangle de la fonction Fg(P) = PA² + PB² + PC².

- Le centre du cercle inscrit, intersection des bissectrices, réalise le minimum sur le triangle de la fonction Fci(P) = max(PA',PB',PC').

- Le centre du cercle circonscrit, intersection des médiatrices, réalise le minimum sur le triangle de la fonction Fcc(P) = max(PA, PB, PC).

- Le point de Fermat-Torricelli est le point du triangle qui minimise la fonction Fft(P) = PA + PB + PC ; c'est la définition-même qu'en a donnée Pierre de Fermat (1636). Evangelista Torricelli a montré peu aprés (1640), en réponse à Fermat, qu'il se trouve à l'intersection des trois cercles circonscrits auxtriangles équilatéraux construits extérieurement sur les côtés du triangle.

- Le point de Lemoine, intersection des symédianes (les droites symétriques de la médiane par rapport à la bissectrice), réalise le minimum sur le triangle de la fonction Fl(P) = PA'² + PB'² + PC'².

Qu'en est-il de l'orthocentre, intersection des hauteurs ?

Trouver une (ou plusieurs) fonctions n'impliquant que ces 6 distances, dont le minimum sur le triangle coïncide avec l'orthocentre

La hauteur issue de A est le lieu des points P tel que PA+PA’ est minimum. De même pour les hauteurs issues de B et C, PB+PB’ et PC+PC’ sont minimums.

L’orthocentre minimise à la fois ces trois fonctions, donc leurs fonctions symétriques, comme par exemple la somme PA+PA’+PB+PB’+PC+PC’ ou le produit

(PA+PA’)(PB+PB’)(PC+PC’)...

Il n’est d’ailleurs pas besoin d’utiliser les trois : la fonction PA+PA’+PB+PB’ répond aussi à la question.

D1851 L’orthocentre prend sa place