Lycée Benjamin Franklin TS, PTSI−2014-2015
L. Gomes, D. Blottière Mathématiques
Étude d’une famille de fonctions
Énoncé
On fixe un repère³ O;→−
i,−→ j´
du plan. Pour toutn∈N, on notefnla fonction définie par
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯
fn : ]2,+∞[ → R
x 7→ x3−x2+(2n−4)x+4 x2−4 etCnsa courbe représentative.
1. On suppose quen=2, dans un premier temps.
(a) Déterminer deux réelsaetbtels que
f2(x)=x−1+ a x+2+ b
x−2 pour toutx∈]2,+∞[.
(b) Étudier la position relative de la courbeC2et de la droiteDd’équationy=x−1.
(c) Que peut-on déduire des questions 1.(a) et 1.(b), quant au tracé de la courbeC2au voisinage de+∞? (d) Étudier les variations de la fonctionf2sur ]2,+∞[.
(e) Préciser les éventuelles tangentes àC2qui sont remarquables.
(f) Tracer l’allure de la courbeC2, en utilisant les questions 1.(c), 1.(d) et 1.(e).
2. À présent,ndésigne un entier naturel quelconque.
(a) Déterminer deux réelsanetbntels que
fn(x)=x−1+ an
x+2+ bn
x−2 pour toutx∈]2,+∞[.
(b) Étudier la position relative de la courbeCnet de la droiteD.
(c) Que peut-on déduire des questions 2.(a) et 2.(b), quant au tracé de la courbeCnau voisinage de+∞?
Corrigé
1. (a) Soient des réelsaetb. En utilisant la définition def2, et en effectuant une réduction au même dé- nominateur (cf.x2−4=(x−2)(x+2), pour tout réelx), on observe que
∀x∈]2,+∞[, f2(x)=x−1+ a x+2+ b
x−2
| {z }
(⋆)
⇔ ∀x∈]2,+∞[, x3−x2+4
x2−4 =(x−1)(x2−4)+a(x−2)+b(x+2) x2−4
⇔ ∀x∈]2,+∞[, x3−x2+4
x2−4 =x3−x2+(a+b−4)x+(−2a+2b+4)
x2−4 .
Comme deux fractions ayant même dénominateur sont égales si et seulement si elles ont même numérateur
(⋆) ⇔ ∀x∈]2,+∞[, x3−x2+4=x3−x2+(a+b−4)x+(−2a+2b+4)
⇔ ∀x∈]2,+∞[, (a+b−4)x+(−2a+2b+4)=4
| {z }
(⋆⋆)
.
Sia+b−4=0 et−2a+2b+4=4, alors (⋆⋆) est bien vérifiée1et par suite (⋆) l’est également puisque les propositions (⋆) et (⋆⋆) sont équivalentes. Nous allons à présent résoudre le système
(S) :=
½ a + b − 4 = 0
−2a + 2b + 4 = 4 pour déterminer deux constantesaetbsatisfaisant (⋆).
(S) ⇔
½ a + b = 4
−2a + 2b = 0
⇔
½ a + b = 4
4b = 8 (L2←L2+2L1)
⇔
a + b = 4
b = 2 µ
L2←1 4L2
¶
⇔
½ a + 2 = 4
b = 2
⇔
½ a = 2
b = 2 Ainsi, sia=b=2 alors (⋆) est vraie. On a donc établi
∀x∈]2,+∞[, f2(x)=x−1+ 2 x+2+ 2
x−2.
(b) Étudier la position relative de la courbeC2et de la droiteD2d’équationy=x−1 revient à étudier le signe de
f2(x)−(x−1)
pour toutx∈]2,+∞[. D’après le résultat obtenu à la question précédente f2(x)−(x−1)= 2
x+2+ 2 x−2 pour toutx∈]2,+∞[. Comme
2
x+2>0 et 2 x−2>0 pour toutx∈]2,+∞[, on a
f2(x)−(x−1)>0 pour toutx∈]2,+∞[ et donc
la courbeC2est au-dessus de la droiteD.
(c) De
f2(x)−(x−1)= 2 x+2+ 2
x−2 pour toutx∈]2,+∞[,
2
x+2x→+∞→ 0 et 2
x−2x→+∞→ 0 on déduit
f2(x)−(x−1)x→+∞→ 0.
La courbeC2et la droiteDdeviennent donc infiniment proches l’une de l’autre (sans pour autant se croiser d’après la question 1.(b)) quand on se rapproche de+∞. En d’autres termes
1. La réciproque est également vraie, mais ce n’est pas complètement évident ici, puisqu’on ne peut pas spécifier àx=0, ni àx=1, car 0 et 1 n’appartiennent pas à ]2,+∞[. Quant à l’identification des coefficients de deux fonctions polynomiales égales, nous en parlerons en détail dans le chapitre sur les polynômes.
2. C’est bien sûr le résultat de la question 1.(a) qui motive l’introduction de la droiteD. Avec un peu d’habitude, de l’écriture obtenue à la question 1.(a), on déduit immédiatement les résultats des questions 1.(b) et 1.(c)
la droiteDest asymptote à la courbeC2au voisinage de+∞.
D’après ce résultat et celui de la question 1.(b), le tracé deC2aura l’allure suivante au voisinage de +∞.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
D C2
(d) Par définitionf2est donnée par
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯
f2 : ]2,+∞[ → R
x 7→ x3−x2+4 x2−4
On rappelle que siuetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIdeR, et sivne s’annule pas surI, alors la fonction
¯¯
¯¯
¯¯
¯ u
v : I → R
x 7→ u(x) v(x) est dérivable surRet
∀x∈I, ³u v
´′
(x)=u′(x)×v(x)−u(x)×v′(x)
v(x)2 .
On applique ce résultat ici avec les fonctions
¯¯
¯¯
u : ]2,+∞[ → R
x 7→ x3−x2+4 et
¯¯
¯¯
v : ]2,+∞[ → R x 7→ x2−4 toutes deux dérivables sur ]2,+∞[, puisque polynomiales. La fonction
f2=u v
est donc dérivable sur ]2,+∞[ et pour toutx∈]2,+∞[ f2′(x)=³u
v
´′
(x) = (3x2−2x)×(x2−4)−(x3−x2+4)×2x (x2−4)2
= x4−12x2 (x2−4)2
= x2(x2−12) (x2−4)2
= x2¡ x−2p
3¢ ¡ x+2p
3¢ (x2−4)2 .
De cette dernière forme factorisée, on déduit le signe def2′sur ]2,+∞[, puis les variations def2sur ]2,+∞[.
x 2 2p
3 +∞
Signe def2′(x) − 0 +
Variations def2 ց 0 ր
(e) La dérivée def2s’annulant en 2p
3, la tangenteT àC2au point d’abscisse 2p
3 est horizontale. Son équation réduite est
y=f2(2p 3) i.e.
y=3p 3−1.
(f) Voici l’allure de la courbeC2.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
C2 D
T
2p 3 3p
3−1
En utilisant l’expression def2(x), pourx∈]2,+∞[, obtenue à la question 1.(a) on montre facilement f2(x) →
x→2++∞.
Graphiquement ceci s’interprète en disant que la droite d’équationx=2 est asymptote verticale à la courbeC2(cf. droite verticale en pointillés bleus).
2. (a) Soient des réelsaetb. En utilisant la définition defn, et en effectuant une réduction au même dé- nominateur, on observe que
∀x∈]2,+∞[, fn(x)=x−1+ a x+2+ b
x−2
| {z }
(⋆)
⇔ ∀x∈]2,+∞[, x3−x2+(2n−4)x+4
x2−4 =(x−1)(x2−4)+a(x−2)+b(x+2) x2−4
⇔ ∀x∈]2,+∞[, x3−x2+(2n−4)x+4
x2−4 =x3−x2+(a+b−4)x+(−2a+2b+4)
x2−4 .
Comme deux fractions ayant même dénominateur sont égales si et seulement si elles ont même numérateur
(⋆) ⇔ ∀x∈]2,+∞[, x3−x2+(2n−4)x+4=x3−x2+(a+b−4)x+(−2a+2b+4)
⇔ ∀x∈]2,+∞[, (a+b−4)x+(−2a+2b+4)=(2n−4)x+4
| {z }
(⋆⋆)
.
Sia+b−4=2n−4 et−2a+2b+4=4, alors (⋆⋆) est bien vérifiée et par suite (⋆) l’est également puisque les propositions (⋆) et (⋆⋆) sont équivalentes. Nous allons à présent résoudre le système
(S) :=
½ a + b − 4 = 2n−4
−2a + 2b + 4 = 4 pour déterminer deux constantesaetbsatisfaisant (⋆).
(S) ⇔
½ a + b = 2n
−2a + 2b = 0
⇔
½ a + b = 2n
4b = 4n (L2←L2+2L1)
⇔
½ a + b = 2n
b = n
⇔
½ a + n = 2n
b = n
⇔
½ a = n
b = n
Ainsi, sia=b=nalors (⋆) est vraie3. On a donc établi
∀x∈]2,+∞[, f2(x)=x−1+ n x+2+ n
x−2.
(b) Étudier la position relative de la courbeCnet de la droiteDd’équationy=x−1 revient à étudier le signe de
fn(x)−(x−1)
pour toutx∈]2,+∞[. D’après le résultat obtenu à la question précédente fn(x)−(x−1)= n
x+2+ n x−2 pour toutx∈]2,+∞[.
3. Le résultat obtenu dans le cas oùnest un entier naturel quelconque est cohérent avec celui obtenu pourn=2 à la question 1.(a).
• Cas où n=0 Alors
fn(x)−(x−1)=0
pour toutx∈]2,+∞[. La courbeC0est donc confondue avec la portion de la droiteDau-dessus de l’intervalle ]2,+∞[.
• Cas où n≥1 Alors
n
x+2>0 et 2 x−2>0 pour toutx∈]2,+∞[, et donc on a
fn(x)−(x−1)>0
pour toutx∈]2,+∞[ et donc la courbeCnest au-dessus de la droiteD4.
(c) Mettons à part le cas oùn=0, car la courbeC0étant confondue avec une portion de la droiteD, il n’y a plus d’étude supplémentaire à mener.
Supposons donc à présentn≥1. De
fn(x)−(x−1)= n x+2+ n
x−2 pour toutx∈]2,+∞[,
n
x+2x→+∞→ 0 et n
x−2x→+∞→ 0 on déduit
fn(x)−(x−1)x →
→+∞0.
La courbeCn et la droiteDdeviennent donc infiniment proches l’une de l’autre (sans pour autant se croiser d’après la question 2.(b)) quand on se rapproche de+∞. En d’autres termes, la droiteD est asymptote5à la courbeCnau voisinage de+∞.
Voici quelques allures de courbesCn(n∈N) pour vérifier nos résultats.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
D
C0 C1 C2 C3 C4 C5
4. Le résultat obtenu dans le cas oùnest un entier naturel non nul est cohérent avec celui obtenu pourn=2 à la question 1.(b).
5. Le résultat obtenu dans le cas oùnest un entier naturel non nul est cohérent avec celui obtenu pourn=2 à la question 1.(c).
