Table des matières LES FONCTIONS POLYNOMIALES

(1)

Table des matières

LES FONCTIONS POLYNOMIALES

1 Différents types de fonctions polynomiales 2 Étude des différentes fonctions polynomiales

2.1 Les fonctions constantes

2.1.1 La fonction constante de base 2.1.2 La fonction de base transformée 2.2 Cas particulier: Les droites verticales 2.3 Les fonctions linéaires

2.3.1 La fonction linéaire de base

2.3.2 Les fonctions linéaires transformées 2.4 Les fonctions quadratiques

2.4.1 La fonction quadratique de base 2.4.2 La fonction quadratique transformée

2.4.2.1 La forme générale 2.4.2.2 La forme canonique

2.4.3 Les propriétés de la fonction quadratique 2.4.3.1 Domaine et image

2.4.3.2 Extremums

2.4.3.3 Coordonnées à l’origine 2.4.3.4 Variation et signe

2.4.3.5 Axe de symétrie

2.4.4 Comment trouver la règle d’une fonction quadratique 2.4.4.1 À partir du sommet et d’un point

2.4.4.2 À partir des zéros et d’un point 2.4.5 Résolution d’équations quadratiques 2.4.6 Opérations sur les fonctions

2.4.6.1 Somme ou différence de fonctions

2.4.6.2 Produit de fonctions

(2)

- 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 2 4 6 8 1 0

- 2 2 4 6 8 1 0

Les fonctions polynomiales

1) Différents types de fonctions polynomiales

Degré Fonction de

base

Fonction transformée

Représentation graphique

Appellation

0 y=1 y=a avec a…1 Fonction

constante

1 y=x

y=ax Fonction linéaire

directe

y=ax+b Fonction linéaire

partielle

2 y=x²

y=ax² y=ax²+bx

y=ax²+c y=ax²+bx+c

Fonction quadratique

(3)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

3 y=x³ Fonction

cubique

2) Étude des différentes fonctions polynomiales 2.1) Les fonctions constantes (degré 0)

2.1.1) La fonction constante de base:( y=1 )

Dom = ú

ima = 1 V.I. = 1 Zéro =

Maximum = 1 Minimum = 1 positive pour x 0ú

négative: jamais constante pour x 0ú

2.1.2) La fonction de base transformée: ( y=a )

Dom = ú

ima = a V.I. = a Zéro =

Maximum = a Minimum = a

positive pour x 0ú si a , 0 négative pour x 0ú si a + 0 constante pour x 0ú

(4)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

2.2) Cas particulier: Les droites verticales

Attention: Les droites verticales ne sont pas des fonctions. Elles seront utilisées dans ce chapitre pour donner l’axe de symétrie d’une parabole

L’équation d’une droite verticale est de la forme x=a

Pour tracer une droite verticale avec la calculatrice on le fait en mode DRAW, il y ensuite 2 possibilités: soit en utilisant la commande LIGNE soit en utilisant la commande VERTICALE.

Pour la commande LIGNE on écrit: LIGNE(X1,Y1,X2,Y2)

Exercices: page 240 #1 à 9 Page 247 #1 à 5

2.3) Les fonctions linéaires (degré 1)

2.3.1 La fonction linéaire de base ( y=x )

Dom = ú

ima = ú

V.I. = 0 Zéro = 0 Maximum = Minimum =

positive pour x 0ú+ négative pour x 0ú- croissante pour x 0ú

(5)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

2.3.2 Les fonctions linéaires transformées ( y=ax+b )

Rôle du paramètre a: Trace les fonctions

2 3 0,5 0 , 2 2 y x y

y x

 = 

 = 

 

 = 

 

 = 

 

= −

 

 = − 

 

La modification du paramètre a dans la règle de la fonction linéaire de base entraîne:

- un changement d’échelle vertical si a , 0

- un changement d’échelle vertical suivi d’une réflexion, par rapport à l’axe des x si a+0.

Ces changements d’échelle correspondent à un allongement du graphique de la fonction de base si a , 1 et un rétrécissement si 0 + a + 1.

Le paramètre a correspond au taux de variation de la fonction et à l’inclinaison de la droite.

Cette droite monte si a , 0, et descend si a + 0.

Rôle du paramètre b: On peut observer le rôle du paramètre b en étudiant les fonctions:

2 4 2 4 y x y x y x y x y x

 = 

 = + 

 

 = + 

 

 = − 

 

 = − 

 

(6)

fonction de la forme y=ax+b

La modification du paramètre b dans la règle de la fonction linéaire de base engendre une translation verticale de b unités vers le haut si b,0 et vers le bas si b+0.

Le paramètre b est appelé valeur initiale de la fonction et correspond à l’ordonnée à l’origine dans le graphique.

Les fonctions linéaires qui n’utilisent que le paramètre a sont appelées des fonctions de variation directe et celles qui utilisent le paramètre b, des fonctions de variation

partielle.

Comment trouver le zéro d’une fonction linéaire?

L’équation est de la forme y=ax+b À l’abscisse à l’origine y=0

Y0=ax+b

Y-b=ax

Yx=-b/a

Étude d’une fonction linéaire transformée:

Dom = ú

ima = ú

V.I. = b Zéro = -b/a Maximum = Minimum =

positive pour x 0 , b a

−∞ − 

 

 

négative pour x 0 b , a

− +∞

 

 

décroissante pour x 0ú

(7)

Comment trouver l’équation d’une droite à partir de deux points?

Soient les points A(3,4) et B(-8,-2). Trouve la droite qui passe par ces deux points.

L’équation de la droite est de la forme y=ax+b a = taux de variation = ² ¹

2 1

2 4 6 6

8 3 11 11

y y

x x

− = − − = − =

− − − −

L’équation est donc 6 . y = 11x+b

On remplace les coordonnées d’un point dans l’équation pour trouver b.

4 6 *3 11 4 18

11 4 18

11 44 18 11 11 26 11

b b b

b b

= +

⇔ = +

⇔ − =

⇔ =

L’équation de la droite est 6 26

11 11

y = x+

Exercices: page 256 #1 à #12 Page 260 #1 à #8

Page 264 #7 à #15, #18 à #23, #25, #27 à #29 Page 273 Capsule

Feuille on se pratique #1

(8)

1 2 3 4 5 2

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2.4 Les fonctions quadratiques (degré 2)

2.4.1 La fonction quadratique de base (y=ax²)

Exemple #1: Soit l’aire d’un carré de x cm de côté

Exemple #2: Étude de la fonction y=x²

Dom=ú

Ima=ú+

V.I.=0 Zéro=0 Max=

Min=0

Positive pour x 0ú

Négative: jamais Croissante pour x 0ú+

Décroissante pour x 0ú-

(9)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.4.2 La fonction quadratique transformée 2.4.2.1 La forme générale y=ax²+bx+c

Rôle du paramètre a:

Trace les fonctions:

y=x² y=-x²

y=2x² y=-2x²

Un paramètre a de valeur négative provoque une réflexion par rapport à l’axe des x.

-Si a est positif, la parabole est ouverte vers le haut.

-Si a est négatif la parabole est ouverte vers le bas.

Trace les fonctions:

y=x² y=0,5x²

y=2x² y=0,1x²

y=4x² y=0,01x²

La multiplication des ordonnées entraîne un changement d’échelle vertical qui correspond à:

- un allongement si a , 1 - un rétrécissement si 0 + a + 1

(10)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-6 -4 -2 2 4 6 8 10

Rôle du paramètre b

Trace les fonctions Trace les fonctions

y=x² y=x²

y=x²+3x y=x²-3x

y=x²+5x y=x²-5x

y=x²+7x y=x²-7x

La variation du paramètre b engendre à la fois une translation verticale et horizontale de la parabole. La translation qui en résulte est donc oblique.

En suivant la translation de cette parabole dans le plan, on remarque que le sommet “glisse” le long d’une autre parabole.

(11)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

Rôle du paramètre c 10

Trace les fonctions

y=x²+2x y=x²+2x-3

y=x²+2x+3 y=x²+2x-5

y=x²+2x+5

La modification du paramètre c dans la règle d’une fonction quadratique engendre une translation verticale:

-vers le haut si c,0 -vers le bas si c+0

La valeur du paramètre c d’une fonction quadratique correspond à la valeur initiale de cette fonction ou à l’ordonnée à l’origine de la parabole.

Exercices: page 282 #1, 3, 5 ,7 à 9, 11 et 13

(12)

2.4.2.2 La forme canonique y=a(x-h)²+k

Puisque l’introduction du paramètre b dans la règle d’une fonction quadratique engendre une double transformation (translation horizontale et verticale) de la parabole dans le plan, il est très difficile de tracer son graphique qu’à partir des paramètres a, b, et c qui font partie de la règle f(x ) = ax²+bx+c.

Toutefois, il est possible de modifier la règle générale d’une fonction du second degré afin d’obtenir une règle dont l’expression nous permet de tracer rapidement le graphique d’une fonction quadratique et ce, uniquement à partir de ses paramètres. Pour ce faire, il suffit de compléter le carré de la règle d’une fonction quadratique.

2

²

( ² )

² ²

( ² )

4 ² 4 ²

4 ²

2 4 ²

4 ²

2 4

-b 4ac-b²

en posant h= et k= on obtient: ax²+bx+c=a(x-h)²+k

2a 4a

ax bx c

b c

a x x

a a

b b b c

a x x

a a a a

b ac b

a x

a a

b ac b

a x a a

+ +

⇔ + +

⇔ + + − +

   − 

⇔      +   +   

  −

⇔   +   +

(13)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

Rôle du paramètre a

Le paramètre a de la forme générale et canonique est le même. Il joue donc le même rôle, c’est à dire un changement d’échelle.

Rôle du paramètre h

Trace les fonctions y=(x-0)² y=(x-1)² y=(x-3)² y=(x-5)²

Trace les fonctions y=(x- -0)²=(x+0)² y=(x- -1)²=(x+1)² y=(x- -3)²=(x+3)² y=(x- -5)²=(x+5)²

La modification du paramètre h engendre une translation horizontale:

- de h unités vers la droite si h,0 - de h unités vers la gauche si h+0 Rôle du paramètre k

Trace les fonctions y=(x-3)²+0 y=(x-3)²+3 y=(x-3)²+5

Trace les fonctions y=(x-3)²+0

y=(x-3)²-3 y=(x-3)²-5

(14)

La modification du paramètre k engendre une translation verticale:

- de k unités vers le haut si k,0 - de k unités vers le bas si k+0

H et k sont les coordonnées du sommet de la parabole: S(h,k)

L’intérêt de la forme canonique est qu’elle utilise les coordonnées du sommet de la parabole.

Exemple #1: Trouvez la forme générale de l’équation y=-0,5(x+2)²+3

[ ]

0,5( 2)² 3

0,5 ( 2)( 2) 3 0,5( ² 4 4) 3 0,5 ² 2 2 3 0,5 ² 2 1

y x

y x x

= − + +

⇔ = − + + +

⇔ = − − − +

⇔ = − − +

Exemple #2: Trouvez la forme canonique de l’équation y=2x²+4x+3

1^ère méthode

( )

²

2 ² 4 3

2 ² 2 3 2 2 ² 2 1 1 3

2 2 1 1

2 2( 1)² 1

y x x

y x

= + +

 

⇔ =   + +  

 

⇔ =   + + − +  

 

⇔ =   + +  

⇔ = + +

2^ème méthode

4 1

2 4

4 ² (4 2 3) (4²)

4 4 2 1

2( 1)² 1 h b

a ac b

k a

y x

− −

= = = −

− × × −

= = =

×

⇔ = + +

(15)

y

x

y

x

y

x

y

x

2.4.3 Les propriétés de la fonction quadratique 2.4.3.1 Domaine et image

Si a , 0

Dom = ú

Ima =

[

^k^,^+∞

[

Si a + 0

Dom ú

Ima=

]

^−∞^,^k

]

2.4.3.2 Extremums

Si a , 0

pas de maximum min=k

Si a + 0

max=k pas de minimum

(16)

2.4.3.3 Coordonnées à l’origine

- La valeur initiale ou l’ordonnée à l’origine d’une fonction quadratique correspond à la valeur du paramètre C dans la forme générale.

- Une fonction quadratique peut avoir 0, 1 ou 2 zéros

0 zéro 1 zéro 2 zéros

On peut trouver les zéros d’une fonction de la forme f(x)=ax²+bx+c en factorisant ce trinôme par la méthode de la somme et du produit. On obtient alors une règle de la forme

f(x)=a(x-x1)(x-x2) dans laquelle x1 et x2 sont les zéros.

Cependant il n’est pas toujours facile de factoriser un trinôme du second degré par cette

méthode. Les mathématiciens ont donc développé une formule après avoir factorisé le trinôme ax²+bx+c par complétion de carrés.

2

²

² mise en évidence du terme a

² ² ²

a x²+ ajout du terme

4 ² 4 ² 4 ²

² factorisation du trinome carré parfait

2 4 ²

² 4

2 4 ²

ax bx c bx c

a x a a

bx b b c b

a a a a a

b b c

a x

a a a

b b ac

a x

a a

+ +

 

⇔  + + 

 

⇔  + − + 

  

⇔  +  − + 

  −

⇔  +  −

2 2

dénominateur commun pour les 2 fractions

b ² 4

a x+ différence de carrés

2a 4 ²

b ac a



 

   −  

 

⇔   −   

(17)

1 2

1

2

² 4 ² 4

a x

2 2 2 2

² 4 ² 4

a x

2 2

x ² 4

2 ² 4

On obtient x

² 4 2 2

b b ac b b ac

a a x a a

b b ac b b ac

a x a

b b ac

a b b ac a

x a

 −  − 

⇔  + +  + − 

 + −  − − 

⇔  +  + 

 =− + − 

  − ± −

  ⇔ =

 

− − −

 = 

 

 

Si le trinôme est exprimé sous la forme^y ⁼ ^{a x}

(

⁻^h

)

² ⁺^k on trouve la formule des zéros en effectuant la manipulation algébrique suivante:

( )

( ) ( )

2

0 ou

a x h k

x h k

a

k k

x h x h

a a

x h k

a

− + =

⇔ − = −

⇔ − = − − = − −

⇔ = ± −

Exemples: En utilisant ces formules, détermine à quelle distance de la falaise deux audacieux plongeurs entreront dans l’eau si leur saut respectif suit la parabole correspondant à chacune des fonctions définies ci-dessous:

( )

² ²

( ) 0,75 2 18 et ( ) 0,5 2 15

f x = − x− + g x = − x + x+

Exercices: p300 #1,2 et 4 à 10

(18)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

2.4.3.4 Variation et signe

Étudions la fonction y=-0,25(x-3)²+5 :

[ ]

] ] [ [

] ]

[ [

≥ ∈ −

≤ ∈ −∞ − +∞

∈ −∞

∈ +∞

U ( ) 0 1,47,7,47

( ) 0 , 1,47 7,47, ( ) ,3

( ) 3,

f x pour x f x pour x

f x est croissante pour x f x est décroissante pour x

On constate que la fonction est croissante sur un intervalle et décroissante sur l’autre, et que l’abscisse du sommet de la parabole (h) est une borne de ces deux intervalles.

Quant aux signes de la fonction, ce sont les zéros qui jouent le rôle de bornes.

Exercices: page 304 #1 à 5

page 307 #8, 13 à 16, 19 à 24, 32, 36, 39, 41 à 43 page 315 Capsule

2.4.3.5 Axe de symétrie d’une parabole

L’axe de symétrie d’une fonction quadratique est une droite verticale ayant pour équation:

(19)

2.4.4 La règle d’une fonction quadratique 2.4.4.1 À partir du sommet et d’un point

Utiliser la présentation PowerPoint: regle.fonction.quadratique.ppt À partir de cette situation trouver le règle de la fonction:

Étant donné que nous avons les coordonnées du sommet nous allons chercher l’équation à partir de la forme canonique

En remplaçant les coordonnées de h et k on trouve:

y=a(x-300)²+1250

En remplaçant maintenant les coordonnées de l’autre point dans l’équation on trouve la valeur du paramètre a:

912=a(430-300)²+1250 912=16900a+1250 a=(912-1250)/16900=-0,02 L’équation de la parabole est donc : y=-0,02(x-300)²+1250

(20)

2.4.4.2 À partir des zéros et d’un point

Lorsque nous avons factorisé le trinôme ax²+bx+c par complétion du trinôme carré parfait nous avons obtenu une expression de la forme:

= − −

⇔ = − − +

⇔ = − + +

= + =

= − +

1 2

2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

2

( )( )

( )

( ( ) )

( )

y a x x x x

y a x xx xx x x y a x x x x x x

En posant S x x et P x x on obtient y a x Sx P

où S représente la somme des zéros et P le produit des zéros.

Exemple: L’arrosage des fleurs

Les zéros de la fonction sont 0 et 8. S=0+8=8 P=0.8=0

⇔ = − +

⇔ = −

( ² 8 0) ( ² 8 )

y a x x

En remplaçant les coordonnées du point (6,3) dans l’équation on obtient:

= −

⇔ = −

3 (6² 8.6) 3 12

1 4 a

a a

L’équation est donc: ^{= −}

¹ ( ^²

⁻

⁸ )

^{⇔ = −}

^²

⁻

²

4 4

y x x y x x

Exercices: page 318 #1 à 9

(21)

2.4.5 Résolution d’équations quadratiques

On appelle équation quadratique toute équation qui se ramène à la forme ax²+bx+c=0.

On peut résoudre les équations quadratiques par factorisation du polynôme ou en utilisant les formules de calcul des zéros de la fonction quadratique.

Exemple #1: Par factorisation

{ }

− + =

⇔ − + − =

⇔ − − − =

⇔ =

2 ² 20 50

2 ² 20 50 0 2( ² 10 25) 0 2( 5)( 5) 0

5 5

x x

x S

Exemple #2: En utilisant la formule des zéros

{ }

− + =

⇔ − + − =

− ± −

=

= =

1 2

2 ² 20 42

2 ² 20 42 0

² 4

:

2 3 et x 7

3,7

x x

b b ac

en utilisant la formule x on trouve a

x S

Exercices: page 323 #1,2,5,6,8,9,10

(22)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

2.4.6 Opérations sur les fonctions

2.4.6.1 Somme ou différence de fonctions

Exemple: Soit f(x)=x+2 et g(x)=x-4.

Trace (f+g)(x).

(F+g)(x)=(x+2)+(x-4)=2x-2

2.4.6.2 Produit de fonctions

Exemple: Soit f(x)=x+2 et g(x)=x-4.

Trace (f.g)(x).

(F.g)(x)=(x+2)(x-4)=x²-2x-8

Exercices: page 331 #8 à 12, 14, 15, 17, 21, 24