FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX-FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
Table des matières
I Fonction polynôme du second degré . . . 1
I.1 Définitions . . . 1
I.2 Variations et représentation graphique . . . 2
II Fonctions homographiques . . . 4
II.1 Définition . . . 4
I Fonction polynôme du second degré
I.1 Définitions
Définition
On appelle fonctionpolynôme du second degrétoute fonctionf définie surRde la forme f(x)=ax2+bx+c
o˘a,betcsont des réels appelés coefficients aveca6=0.
Exemples: Exemples de fonctions polynômes du second degré
fonctions polynôme de degré 2 coefficients
f(x)=2x2−5x+3 a=2,b= −5,c=3
f(x)= −x2+3 a= −1,b=0,c=3
f(x)= −7x2+3x a= −7,b=3,c=0
Définition
L’expressionf(x)=ax2+bx+cpeut s’écrire sous la formef(x)=a(x−α)2+βavecα= − b
2a etβ=f(α).
Cette forme est appeléeforme canonique Démonstration :
ax2+bx+c=a µ
x2+b ax
¶
+c=a
·µ x+ b
2a
¶2
− µ b
2a
¶2¸
+c=a µ
x− µ
− b 2a
¶¶2
−b2
4a+c= a(x−α)+β en posant α= − b
2a; on a alorsβ== −b2
4a+c=f(α), car en remplaçantxparαdans f(x)=a(x−α)2+β, on trouveβ.
1
Exemples:
1. SoitP(x)=2x2−4x+5=ax2+bx+caveca=2,b= −4 etc=5.
On aα= − b
2a = − −4 2×2=1 β=P(α)=P(1)=3
Par conséquentP(x)=a(x−α)2+β=2(x−1)2+3.
2. P(x)= −5x2+2x−7=ax2+bx+c aveca= −5,b=2 etc= −7.
α= − b
2a = − 2
2×(−5)=1 5 β=P(α)=P
µ1 5
¶
= −5× µ1
5
¶2
+2×1
5−7= −34 5 . On en déduitP(x)= −5
µ x−1
5
¶2
−34 5
Remarque :βpeut facilement se calculer avec la calculatrice graphique.
• On entre la fonction en allant sur la touchef(x) puis la touche x,t,θ,n
• Pour calculerf(α) (doncy1(α)) puisque la fcontion s’appelley1sur la calculatrice, on tape successivement vars ,y−vars, fonction,y1, Entrée. Apparaît alors sur l’écrany1; on complète avec (α), puis Entrée.
La calculatrice affiche une valeur décimale ; si l’on veut la mettre sous forme fractionnaire (et avoir ainsi une valeur exacte), on tape sur Mode, puis Frac, puis Entrée.
I.2 Variations et représentation graphique
Propriété
La fonction polynôme de degré 2 définir surRest :
♦ strictement décroissante sur ]− ∞;α] puis strictement croissante sur [α;+∞[sia>0,
♦ strictement croissante sur ]− ∞; α]puis strictement décroissante [α;+∞[sia<0, Démonstration dans le casa>0:Sur [α; +∞[ :
On prend deux nombresx1etx2avecαÉx1Éx2.
αÉx1Éx2⇒0Éx1−αÉx2−α⇒0É(x1−α)2É(x2−α)2(car la fonction carré est croisante sur [0 ;+∞[) On en déduit 0É0Éa(x1−α)2Éa(x2−α)2puisβÉa(x1−α)2+βÉa(x2−α)2β.
Les images sont classées sdan sel même ordre que les antécédents, donc la fonction f est croissante sur [α+ ∞[.
Démonstration analoguesur ]− ∞; α] et dans le cas oùa<0
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Tableau de variations et représentation graphique :
a>0
x −∞ − b
2a +∞
f(x) +∞
❅❅
❅
❘ β
✒ +∞
x= − b 2a
b
O
minimum β
α
a<0
x −∞ − b
2a +∞
f(x)
−∞
✒ β
❅❅
❅
❘
−∞
x= − b 2a
b
O Maximum β
α
Dans un repère
³ O; −→
i ; −→ j
´
, la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est uneparabole Cette parabole admet unaxe de symétrieparallèle à l’axe des ordonnées.
Remarque: pour calculerf(x)=a(x−α)2+β, on effectue plusieurs transformations successives : x7→(x−α)27→a(x−α)27→a(x−α)2+β.
La première transformation correspond à une translation parallèlement à l’axe des abscisses deαunités ; la deuxième, multiplication para, correspond à une dilatation (et un renversement sia<0) et la troisième à une translation parallèlement à l’axe des ordonnées deβunités.
Visualisation à l’aide Geogebra : fichier disponibleici Page 3/4
II Fonctions homographiques
II.1 Définition
Définition
On appelle fonction homographique toute fonction de la formex7→ ax+b
cx+d oùa,b,cetdsont des réels avecc6=0 etad−bc6=0.
Propriété
L’ensemble de définition de la fonctionf :x7→ ax+b
cx+d estR\
½
−d c
¾ .
Exemple: soit f :x7→2x+3 7x+3.
f est bien homographique et l’ensemble de définition estR\
½
−3 7
¾ .
Définition
La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole, constituée de deux branches.
Pour la fonction f :x7→2x+3
7x+3, la courbe représentative est :
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
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