FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX-FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
Table des matières
I Fonction polynôme du second degré . . . 1
I.1 Définitions . . . 1
I.2 Variations et représentation graphique . . . 2
II Fonctions homographiques . . . 4
II.1 Définition . . . 4
I Fonction polynôme du second degré
I.1 Définitions
Définition
On appelle fonctionpolynôme du second degrétoute fonctionP définie surRde la forme P(x)=ax2+bx+c
o˘a,betcsont des réels appelés coefficients aveca6=0.
Exemples: Exemples de fonctions polynômes du second degré
fonctions polynôme de degré 2 coefficients
P(x)=2x2−5x+3 a=2,b= −5,c=3
P(x)= −x2+3 a= −1,b=0,c=3
P(x)= −7x2+3x a= −7,b=3,c=0
Définition
Une expression de la formef(x)=a(x−α)2+βaveca6=0 s’appelle laforme canoniqued’un polynôme de degré 2.
Toute fonction polynôme de degré 2 admet une forme canonique.
On a :α= − b
2a etβ=f(α) Démonstration :
ax2+bx+c =a µ
x2−b a
¶
+c =a
·µ x− b
2a
¶2
− µ b
2a
¶2¸
+c ==a µ
x− b 2a
¶2
− b2
4a +c = a µ
x− b 2a
¶2
−b2−4ac 4a (forme canonique).
1
On appelle discriminant l’expression :∆=b2−4ac. Par conséquent :ax2+bx+c=a
· x−
µ
− b 2a
¶¸2
−b2−4ac
4a =a(x−α)2+βavec
α= − b 2a β= −∆
4a =f(α) Exemples:
Exerc1ce 1 SoitP(x)=2x2−4x+5=ax2+bx+c aveca=2,b= −4 etc=5.
On aα= − b
2a = − −4 2×2=1 β=P(α)=P(1)=3
Par conséquentP(x)=a(x−α)2+β=2(x−1)2+3.
Exerc2ce 2 P(x)= −5x2+2x−7=ax2+bx+caveca= −5,b=2 etc= −7.
α= − b
2a = − 2
2×(−5)=1 5 β=P(α)=P
µ1 5
¶
= −5× µ1
5
¶2
+2×1
5−7= −34 5 . On en déduitP(x)= −5
µ x−1
5
¶2
−34 5 I.2 Variations et représentation graphique
Propriété
La fonction polynôme de degré 2 définir sur ]− ∞; +∞[ est :
♦ strictement décroissante sur ]− ∞;α] puis strictement croissante sur [α;+∞[sia>0,
♦ strictement croissante sur ]− ∞; α]puis strictement décroissante [α;+∞[sia<0, Démonstration dans le casa>0:Sur [α; +∞[ :
On prend deux nombresx1etx2avecαÉx1Éx2.
αÉx1Éx2⇒0Éx1−αÉx2−α⇒0É(x1−α)2É(x2−α)2(car la fonction carré est croisante sur [0 ;+∞[) On en déduit 0É0Éa(x1−α)2Éa(x2−α)2puisβÉa(x1−α)2+βÉa(x2−α)2β.
Les images sont classées sdan sel même ordre que les antécédents, donc la fonction f est croissante sur [α+ ∞[.
Démonstration analogue sur ]− ∞; ´sal pha] et dans le cas oùa<0
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Tableau de variations et représentation graphique :
a>0
x −∞ − b
2a +∞
f(x) +∞
❅❅
❅
❘f µ
− b 2a
¶
✒ +∞
x= − b 2a
b
O
minimum
a<0
x −∞ − b
2a +∞
f(x)
−∞
✒ f
µ
− b 2a
¶
❅❅
❅
❘
−∞
x= − b 2a
b
O Maximum
Dans un repère³ O; −→
i ; −→ j ´
, la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est uneparabole Cette parabole admet unaxe de symétrieparallèle à l’axe des ordonnées.
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II Fonctions homographiques
II.1 Définition
Définition
On appelle fonction homographique toute fonction de la formex7→ ax+b
cx+d oùa,b,cetdsont des réels avecc6=0 etad−bc6=0.
Propriété
L’ensemble de définition de la fonctionf :x7→ ax+b
cx+d estR\
½
−d c
¾ .
Exemple: soit f :x7→2x+3 7x+3.
f est bien homographique et l’ensemble de définition estR\
½
−3 7
¾ .
Définition
La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole, constituée de deux branches.
Pour la fonction f :x7→2x+3
7x+3, la courbe représentative est :
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
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