IUT Mesures Physiques, Vibrations et Ondes, 05–06 1
Calculatrice et feuille A4 manuscrite recto–verso autorisées.
De nombreuses questions sont indépendantes. Pour les questions dont le résultat est donné, il sera, bien-sûr, tenu le plus compte de la qualité de l’argumentation.
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A
5 m
6 m
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B
K k K
x1 x2
Entre le plafond enA, et le sol enB, se succèdent en alignement ver- tical : un ressort de raideur K, une première masse m, un ressort de raideurk, une deuxième massemet un deuxième ressort de raideurK.
1. Soit T la tension du ressort central à l’équilibre, qui est étiré.
Quelle est la tension du ressort supérieur, en absence de pesanteur ? En présence de pesanteurg?
2. Même question pour le ressort inférieur.
3. Dans la suite, on ne considérera que des mouvements verticaux, répérés par des déplacementsx1 etx2 des masses,par rapport à l’équi- libre. Écrire les équations du mouvement et montrer qu’elles peuvent s’écrire sous la forme
¨
x1+Ax1 =Bx2 , x¨2+Ax2 =Bx1,
avecA >0,B >0,A−B >0. Donner les expressions deAetB en fonction dem,k etK.
4. Montrer que deux combinaisons linéaires indépendantes de x1 etx2 sont solutions d’équations d’évolution découplées. Donner l’ex- pression des pulsations propres. Observera-t-on des battements ?
5. Donner la loi horaire x1(t) correspondant aux conditions ini- tialesx1(0) = b,x2(0) = ˙x1(0) = ˙x2(0) = 0, oùbest un petit déplace- ment initial.
6. On applique àchacunedes masses une même force supplémen- taire de mesure algébrique Fmcos(2√
A t). Quelle est la forme de la solution générale pourx1(t) +x2(t)et pourx1(t)−x2(t).
7. En présence de ces forces, quelle sera la solution pour x1(t)si on adopte les mêmes conditions initialesx1(0) = b, x2(0) = ˙x1(0) =
˙
x2(0) = 0que précédemment.
IUT Mesures Physiques, Vibrations et Ondes, 05–06 2
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Une corde homogène de masse linéiqueµest tendue horizontalement avec une tensionT entre deux pointsAetB, distants de`.
1. On rappelle que l’équation de propagation d’un petit ébranlement verticaly(x, t)est de la forme
∂2y(x, t)
∂t2 =c2∂2y(x, t)
∂x2 . (1)
En quelle unité s’exprimec? Quelle est l’expression la plus plausible :c2 =T /µouc2 =µ/T ? On l’adoptera désormais.
2. Montrer qu’une solution
y(x, t) =αcos[ω(t−x/c)] +βcos[ω(t+x/c)],
peut s’annuler en permanence enx= 0sans que cela ne restreigne le choix de la pulsationω.
3. Pour quelles valeurs deωla solution précédente s’annule-t-elle aussi pourx=`? Donner un exemple d’application.
4. On suppose désormais que la corde est faite de deux parties de même longueur, mais de caractéristique différentes. Pour la commodité, on prend une nouvelle origine au centre de la corde, le milieu entreAetB. À gauche, pourx <0, la densité de la corde estµ1et correspond à une céléritéc1. À droite, pourx >0, la densité de la corde estµ2 et correspond à une céléritéc2. Écrire les conditions de continuité enx = 0pour les fonctionsy1(x, t)ety2(x, t) qui décrivent l’état de la vibrations à gauche et à droite respectivement.
5. Expliquez pourquoiy1(x, t) =a1cos(ωt+φ) sin[ω(x+`/2)/c1]satisfait aux conditions limites à gauche. Quelle est l’analoguey2(x, t)à droite ?
6. Écrire les conditions de raccordement enx = 0. Montrer que siµ1 =µ2, on retrouve le résultat précédent pour les pulsations possibles d’une onde stationnaire. Quelles sont les pulsa- tions dans le cas oùµ2= 4µ1?
<A =
O
> B
µ1 µ2
?@BACAEDEFHG
cosa+ cosb= 2 cos((a+b)/2) cos((a−b)/2), cosa−cosb =−2 sin((a+b)/2) sin((a−b)/2).
