IUT Mesures Physiques, Vibrations et Ondes, 05–06 1
Calculatrice et feuille A4 manuscrite recto–verso autorisées.
De nombreuses questions sont indépendantes. Pour les questions dont le résultat est donné, il sera, bien-sûr, tenu le plus grand compte de la clarté et de la rigueur de l’argumentation.
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Un liquide incompressible peut glisser sans frottement dans un tube en U. À l’équilibre, sous l’effet du champ de pesanteurg, le liquide est au fond du tube et remonte à la même altitude des deux côtés. Ce niveau d’équilibre est pris comme originez = 0. On noteσ la section constante du tube,`la longueur totale du liquide dans le tube,%la masse volumique du liquide.
En exerçant une surpression du côté gauche, on fait remonter l’eau à droite jusqu’à un niveauz0. La surpression cesse et le liquide est abandonné sans vitesse initiale. L’altitude à l’instantt du point du liquide le plus haut sur la droite est notéez(t).
a) Exprimer l’énergie cinétique totale Ec du liquide en fonction de la vitesse z(t)˙ et des autres paramètres du problème.
b) Montrer que l’énergie potentielleEp du liquide est de la formeEp = az(t)2 si on prend comme énergie de référence celle de l’équilibre, et calculer la constanteaen fonction des para- mètres du problème.
c) Calculer la pulsationω des oscillations.
d) Donner la loi horairez(t).
z = 0 z0
FIG. 1 – Eau dans le tube en U, à l’équilibre (gauche) et juste avant le début du mouvement (droite).
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0
1 ' %
2!
'
+43
#5
6
m m7
k k k
x1 x2
FIG. 2 – Ressorts couplés
Les masses sont identiques, soitm, et les trois raideurs ont aussi même valeurk. Chaque masse évolue dans un fluide visqueux et subit donc une force de frottement de mesure algébrique−λx˙i. Les abscissesx1etx2sont repérées par rapport à la position d’équilibre de chacune des masses.
a) Écrire les équations du mouvement. Montrer qu’elles sont de la forme
¨
x1+ 2αx˙1+a x1 =b x2 ,
¨
x2+ 2αx˙2+a x2 =b x1 ,
avec des constantespositivesα,aetb(maisb < a) que l’on exprimera en fonction des données.
b) Montrer qu’on peut se ramener à des équations découplées. Indiquer sommairement quelle sera la forme des solutions siλest grand.
c) On applique sur la deuxième masse une force supplémentaire Fmcos(ωt). Calculer le régime permanent pour l’abscissex1(t)de la première masse.
80 !9! ': ) % ) ! ' )
On rappelle qu’une corde infinie, de masse linéiqueµ, tendue avec une tension T est le siège d’ondes progressives, qui en notation complexe, s’écrivents(x, t) = s0exp[i((ωt∓kx)], avec n’importe quelle pulsationω, pourvu que le nombre d’ondeksatisfassek =ω/c, oùc= p
T /µ.
a) À quoi correspond le signe dans· · · ∓kx· · ·?
b) On suppose désormais que la corde est faite de deux parties semi-infinies de caractéris- tiques différentes. L’origine des abscisses est à la séparation. À gauche, pourx < 0, la densité de la corde estµ1 et correspond à une céléritéc1. À droite, pourx >0, la densité de la corde est µ2et correspond à une céléritéc2. Écrire les conditions de continuité enx= 0pour les fonctions s1(x, t)ets2(x, t)qui décrivent l’état de la vibrations à gauche et à droite respectivement.
;
O
µ1 µ2
FIG. 3 – Corde formée de deux parties de masses linéiques différentes
c) Montrer qu’une onde incidente, de la forme siexp[i(ωt−k1x)]pourx < 0, ne peut se raccorder à une onde transmisestexp[i(ωt−k2x)]pourx >0, et qu’ilfautqu’il y ait une onde réfléchiesrexp[i(ωt+k1x)]du côtéx <0.
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d) Calculer les amplitudessretst en fonction desi et des céléritésc1 etrc2.
e) On considère désormais une corde infinie, de masse linéiqueµ1 pour x < 0 etx > L, avec une section intermédiaire de masse linéiqueµ2 pour0< x < L.
<
x= 0
=
x=L
µ1 µ2 µ1
FIG. 4 – Corde formée de trois parties de masses linéiques successivesµ1,µ2etµ1 On introduit les ondes
aexp[i(ωt−k1x)] pour x <0, bexp[i(ωt+k1x)] pour x <0, cexp[i(ωt−k2x)] pour 0< x < L , dexp[i(ωt+k2x)] pour 0< x < L , eexp[i(ωt−k1x)] pour L < x ,
pour décrire l’onde incidente, l’onde réfléchie, les ondes sur la partie intermédiaire et finalement, l’onde transmise.
Écrire les conditions de raccordement en x = 0et enx = L, et montrer, sans résoudre expli- citement les équations, qu’elles sont suffisantes pour déterminer les amplitudesb, c, d et e en fonction dea.
f) Montrer que si la longueur L est bien choisie, l’amplitude b de l’onde réfléchie peut s’annuler. Connaissez-vous un dispositif analogue en électricité ?
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