Suspension d'un liquide par un tube capillaire vertical et de révolution

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Submitted on 1 Jan 1884

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Suspension d’un liquide par un tube capillaire vertical et de révolution

É. Mathieu

To cite this version:

É. Mathieu. Suspension d’un liquide par un tube capillaire vertical et de révolution. J. Phys. Theor.

Appl., 1884, 3 (1), pp.82-86. �10.1051/jphystap:01884003008201�. �jpa-00238309�

tendus,

^teLs que ^les modifications

produites

^à

température

^cons

stante sous l’influence

prolongée

^{de la}

^chaleur;

^{il se}

prête

^aussi

à la détermination de la marche de ces transformations dans des circonstances diverses, et il lu’a conduit à mettre en évidence

une variété cristalline

qui avait j usqu’ici échappé

^aux

investigation dirigées

par les divers autres

procédés.

Ces résultats m’excuseront

peut-être près

^{du lecteur de ravoir retenu si}

longuement

^{sur les}

particularités

nombreuses de cette étude.

SUSPENSION D’UN LIQUIDE PAR UN TUBE CAPILLAIRE VERTICAL ET DE

RÉVOLUTION;

PAR M. É. MATHIEU (1).

1.

Supposons

que ^la SLII’face lntérlellre du tube soit de révolu- tion et

qu’elle

^{ait son axe vertical}

(fig. 1).

^Les surfaces inférieure

Fig. ^1.

et

supérieure

^{BCB’ et AC’ A.’ du}

liquide suspendu

^{dans ce tube}

seront aussi de révolution ^autour du méme axe.

Désignons respectivement

par z et z’ les hauteurs des

points

des surfaces BCB’ et AC’ A’ au-dessus d’un

plan

horizontal. Si

R,

R, ^et

R’, Rfl

^sont les rayons de courbure

principaux

^{en un}

point quelconque

^{de ces}

surfaces

^{on aura}

Je dis

qu’on

^doit

prendre

^{la même} constante le dans ces deux

(’ ) Ce Mémoire et le suivant sont extraits de la Théorie de la capillarité que M. É. Matlneu vient de publier (in-1° de igi p.; Gautliier-Villars, 1883).

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01884003008201

équations.

^En

effet, désignons

par A ^et Iz’ les valeurs de z et z’ aux

deux sommets C et C’ et par y

et y

^{les rayons} de courbure en ces

points ;

nous aurons

ou

car cette

équation exprime

que ^le

poids

d’un filet vertical

liquide, compris

^{entre les deux sommets est}

égal

^à la différence d’action des deux

ménisques qui

^{terminent ce} filet. Or

Inéquation (2)

^se

déduit des

équations (i)

retranchées l’une de

l’autre,

^{et montre}

qu il

^fallait

prendre

^{la même constante li dans ces deux}

équations.

Suspension

^d’un

liquide

^{dans un tube}

cylinclrique

^vertical.

2. Si l’on

applique

^{la théorie}

précédente

^{au cas oû le tubc est}

cylindrique ,

^{les deux}

ménisques

^{tournés en sens contraires}

sont alors

identiques

^{et, en faisant}

y’==

^{Y dans}

l’équation (2),

^on

Fig. ^2.

trouve h’ == h.

L’équilibre

^{de la goutte ne} serait donc

plus

pos- sible.

L’expérience

prouve

cependant qu’une petite quantité

^de

liquide

^{peut rester}

suspendue

^{dans un tube}

cylindrique

^vertical

si le tube n’est _pas mouillé intérieurement au-dessous du

ménisque inférieur,

^{et l’on ne} _peut

expliquer

^{ce désaccord}

qu’en

^admettant

un frottement du

liquide

^{contre le tube.}

Le frottement du

liquide

^{sur le tube étant}

supposé

^{du méme}

ordre de

grandeur

que ^la

cohésion,

^le

liquide

^{tendra à tomber en}

C’,

^{mais sera retenu en B}

près

^{de la}

paroi (jig’. 2);

^le

ménisque

84

inférieur s’afl’aissera donc et

l’angle

de raccordement augmenter.

Désignons

par 1 la

longueur

^AB

comprise

^entre les bords des

inénisclues ;

^{si le}

liquide

^{a un mouvement} suivant l’axe du

tube,

la force de frottement ^contre le tube sera

f

^{étant un coeffi-}

cient.

Imaginons

^un

déplacement

^{vertical et} descendant de trans-

lation commun à tout le

liquide,

^{et, en}

regardant

^{les deux surfaces.}

ACA’, ^{B C’B’ comnle}

sphériques,

^{nous aurons}

ou

i et i‘ étant les

angles aigus

de raccordement des surfaces

supé-

rieure et inférieure avec la

paroi. Quand

il y ^aura

égalité

^{entre les}

deux

membres,

^{la valeur de 1}

représentera

^la

longueur

^maximum

de la colonne

liquide qui

peut ^rester

suspendue. Réciproquement, si

l’on détermine, cette

longueur

^maximum par

l’expérience,

^{on en}

conclura la valeur de

f .

Désignons

par

2 r r lf’

^la résistance

opposée

par le frottement pour

empêcher

le mouvement; ^{nous aurons}

en

représentant,

pour

ahréger,

par ^{H la}

quantité

^{mise entre cro-}

cliets dans

l’inégalité (a).

’ Considérons ^un filet vertical H B’ A’I à section droite rectangu-

laire,

^{dont un des côtés ds est sur la} surface du tube.

Désignons

par P le

poids

^{de ce}

filet,

par V la composante ^{verticale de la dif-} férence d’action des deux

ménisques qui

^{terminent le filet et} par D la différence de l’action verticale du tube sur ces deux ménis- ques ; nous aurons

Or P ==- Bl _pour tous les filets

verticaux,

^{et cette}

égalité

^{a encore}

lie u tout

près

^{de la}

paroi ;

^{on a donc}

Ensuite la

partie

^{du tube en contact avec le filet}

produit

^{à la}

surface

supérieure

^la composante ^verticale

g p ^{a2 cos i ds}

et à la surface inférieure la composante ^verticale

(1 )

- g p ^{a2 cos i’ ds .}

On a donc _pour la

quantité

^D

et l’on déduit de

l’équation (c)

En comparant

(b)

^et

(d),

^{om a}

Supposons

^H

remplacé

par ^sa

valeur;

^la

longueur 1

^{est connue}

par

l’expérience

^et

l’angle i

^{est aussi connu : cette}

équation

^{servira à}

déterminer

l’angle i’

de raccordement de la surface BCB’ avec le

tube. ₁

3. z et z’ étant les distances d’un

point

^des surfaces des mé-

nisques supérieur

^{et inférieur à un}

point horizontal,

^{nous avons}

La

longueur 1

de la colonne

comptée

^entre les bords des

ménisques

est

égale

^à la valeur de z ^- z’ pour x == 1 ; ainsi nous avons

Cette

équation

^{ne renferme} pas d’inconnues nouvelles ^{et sera}

impossible.

^{Mais admettons} que le

liquide

^{ait une viscosité}

qui

^ne

(1) ^hoir Chap. I, ^n° 13, ^de l’Ouvrage de M. Mathieu.

soit pas

négligeable;

^{il ne faut}

plus

^alors supposer dans les deux

équations (i)

que ^{la constante} k ait la même valeur.

Changeons

k ^en k’ dans

l’expression de z’;

^nous aurons, ^au lieu de

l’équa-

tion

(e),

équation qui

déterminera k - k’.

L’équation (2)

^sera

remplacée

par

et l’on voit que

g p (k - k’) indiquera

la résistance

opposée

par ^la viscosité pour contribuer ^à

l’équilibre.

MODIFICATION DE LA POUSSÉE D’UN LIQUIDE PAR LES FORCES CAPILLAIRES;

PAR M. É. MATHIEU.

1. Soient

PQ (fig. 1)

^le

plan

^{de niveau et}

u3

^{le cercle}

auquel

le

liquide, ient

^{affleurer sur le} corps ^de révolution

AEBD,

^dont

l’axe AB est vertical.

Désignons

par ^u

l’angle

^du

plan

tangent ^au corps le

long

^du

cercle

ab

^{avec le}

plan

^{de niveau et}

par i l’angle

de raccordement F

pi.

^{Il existe en}

chaque point b

^du

cercle ab

^{une force de tension}

dirigée

^{suivant la}

tangente bI

^au

méridien bH

^du

liquide,

^{et sa}

composante ^{verticale sera}

et, ^{si nous}

désignons par

r le rayon ^{du cercle}

ab,

^la

portion

^{du li-}

quide

voisine de ce cercle

produit

^{une force}

verticale, agissant

^de

haut en bas et

égale

^à

Évaluons ensuite la

pression hydrostatique

provenant ^{du reste}

du

liquide qui

^entoure le corps solide.

La

pression

^{normale sur un} élément de surface

do,

appartenant