Exercices de Mathématique1

ةيبعشلا ةيطارقميدلا ةيرئازجلا ةيروهمجلا

يملعلا ثحبلاو يلاعلا ميلعتلا ةرازو

ةنيطنسق يروتنم ةوخلإا ةعماج

نيرامت

تاـــيــــــــــــــــــــــــــــــــضاير

1



تاحلطصم



ةيضاير فيراعت



ةلولحم نيرامت



ةحرتقم نيرامت

ةيروص باكر

ةدوعسم فوقشوب

ةيرون راعرع

هفلا

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

سر

لخدم

...

i

لولأا لصفلا

:

اهربلا قرطو قطنملا ئدابم

يضايرلا ن

0

-0

تاحلطصم

...

...

...

....

..

..

...

1

0

-6

...ةلولحم نيرامت

3

0

-3

...ةحرتقم نيرامت

.

...

9

يناثلا لصفلا

:

قلاعلا ،تاعومجملا

و تا

تاقيبطتلا

6

-0

و تاحلطصم

...ةيضاير فيراعت

...

...

11

6

-6

...ةلولحم نيرامت

...

...

04

6

-3

...ةحرتقم نيرامت

..

...

...

...

63

ثلاثلا لصفلا

:

و يقيقح ريغتمل ةيقيقحلا لاودلا

دودحملا رشنلا

3

-0

طصم

و تاحل

...ةيضاير فيراعت

...

..

.

...

28

3

-6

...ةلولحم نيرامت

.

...

31

3

-3

...ةحرتقم نيرامت

10

لا لصفلا

عبار

:

و يلخادلا ليكشتلا نيناوق

ةيربجلا ىنبلا

4

-0

طصم

و تاحل

...ةيضاير فيراعت

...

...

.

...

12

4

-6

...ةلولحم نيرامت

..

...

...

...

15

4

-3

...ةحرتقم نيرامت

..

...

26

لصفلا

سماخلا

:

عاعشلا ءاضفلا

ةيطخلا تاقيبطتلاو ي

1

-0

تاحلطصم

و

ةيضاير فيراعت

...

.

...

....

...

21

1

-6

...ةلولحم نيرامت

...

..

..

.

...

...

22

1

-3

ةحرتقم نيرامت

...

...

.

...

26

قحلم

0

:

..ةيلولأا لاودلا ضعب تاياهنل لودج

...

..

...

...

22

قحلم

6

:

ل لودج

تاقتشم

ضعب

ةيلولأا لاودلا

...

.

...

..

...

22

قحلم

3

:

ل لودج

تاقتشم

ضعب

...ةبكرملا لاودلا

.

..

...

.

...

011

قحلم

4

:

لأا لاودلا ضعب روشنل لودج

ةيلو

...

....

.

...

..

...

....

010

م

خد

ـــــــ

ـــــــــ

ــــــــــــ

ل

اذامل

ن

؟نيرامتلا لح

اذإ

انهجو

إ لاؤسلا اذه

ةبلطلا دحأ ىل

،

س

فو

نوكت

يه اعقوت رثكلأا ةباجلإا

نم نكمتأ ىتح :

ناحتملاا يف حاجنلا

!

لابو

مغر

هنأ لاإ ةباجلإا هذه ةيعورشم نم

ةبوجأ ةثلاث درس نكمي

رربت ةيرهوج

للاتحا ببس

يلمع

" ة

نيرامتلا لح

"

ةماه ةناكم

مولعلا سيردت يف

.



ةيادب

:لمعلا ناديم يف ريكفتلا اننكمي

ا ىدل

لئاسم امومع ينقتلا وأ سدنهملا وأ ثحابل

لحلل

سردلا للاخ ةحرتقملا نيرامتلا نع دعبلا لك ةديعب نوكت نايحلأا بلغأ يف اهنكل ،

و

مع نمضتت يتلا

،اهلحل ةيرورضلا تامولعملا لك امو

يهف

ةيرظنو ةطيسب

ةتحب

.



امك

يدؤي

لا لح

نيرامت

ىلإ

ليعفت

تامولعملا

ةريتو لهست يتلا

باعيتسلاا

،

ف

صوغلا

يف

لا

قيمعتل ةلاعف ةقيرط وه نيرمت

ردملا ميهافملا

و ةسو

لاا

باعيتس

لا

ردلل ديج

.س



ةميق نأب دكؤن اريخأ

ةداملا باعيتسا فده ىدعتت نيرامتلا لحب ةقفرم نيوكتلا

ةسوردملا

ىلإ

ا

باستك

و نهذلا ةناطف

ةيجهنم

فلتخم عم لماعتلا ناقتا يأ ميلسلا ريكفتلا

ةيناديملا لئاسملا

تايطعملل سلسلا ليلحتلا كلذك ،

ريكفتلاو

لا

قيقد

و

لا

م

جو

ه

و

ديدحت

ةلاعفو ةطوبضم ةقيرطب فدهلا

جئاتنلا مييقت مث

اهيلع لصحتملا

بستكم يهو ،

ةماه تا

ةعونتملا تلااجملا نم ديدعلل ةيرورضو

يحلا نم

و ةيلمعلا ةا

ةيمويلا ةايحلا اذك

ت ،

كبسك

لا

ةراهم

ةمزلالا

.تايدحتلا فلتخم ةهجاومل

؟ نيرامتلا لحن فيك

دجوت لا فسلأل

ةباجإ

ةرشابمو ةطيسب ةيروف

لاؤسلا اذهل

.

و

ضعب فيرعت اننكمي كلذ مغر

قرطلا

عابتإو

:ةحورطملا ةلأسملا عم لماعتلا نم اننكمت يتلا حئاصنلا ضعب

دنع

ءارق

نهذلا ىلإ ردابتي نيرمتلا صن ة

ثحبأ اذام نع :لاؤس

؟بولطملا وه ام وأ ؟



أرقا

نعمتو ةيورب ايلك نيرمتلا صن

.



حلطصم لك دنع فقوت

هترابعب هفرعو

ةيضايرلا

.



صاوخلا لك رضحتسا

و

.هب ةصاخلا ةيضايرلا تاقلاعلا فلتخم



ددح

بولطملا

ب

كنهذب اقلاع هلعجاو ةقد

لاوط

هنع ثحبلا ةدم

.



لاكيه عض

طسبم

ا

نيرمتلل

.



ا

ثحب

ةكرتشملا لماوعلا وأ لماعلا نع

نم كيدل ام نيب

ا

تايضرفل

و

نم هنع ثحبت ام

بولطم

يتلاو

كنكمي

لحلا ءانب اهللاخ نم

وجرملا

.

تنأ

لآا

ن

زهاج

ا نيرامتلاب ةصاخلا ةعوبطملا هذه عم لماعتلل

ساردل ةلمكمل

تايضايرلا ئدابم ة

و

.مولعلا تلااجم فلتخم ضوخ نم نكمتيل اهتفرعم سدنهملا ىلع يتلا

لوصف

ةعوبطملا

سفنب ةنودم

" ةعوبطم يف اهبيترت

سورد

تايضاير

0

"

،

و

امه

ناقباطم

ميلعتلا ةرازو فرط نم ررقملا جاهنملل

يلاعلا

ف لك انأدتبا امك .يملعلا ثحبلاو

مب لص

فلتخ

يف ةدراولا تاحلطصملا

فيرعتلا وأ زمرلا اذكو ةيزيلجنلااو ةيسنرفلا و ةيبرعلا :تاغللاب ه

.كلذل تجتحا املك اهل ةدوعلا كل ىنستي ىتح يضايرلا

كيدي نيب ةدوجوملا نيرامتلا مظعم

ةاقتنم

نم

فلتخم

تاناحتملاا

لأا ةنسلا ةبلطل تمدق يتلا

ىلو

يمسق نم

ايجولونكتو مولع

لإا ةعماجل لقنلا ةسدنهو

تنم ةوخ

ةنيطنسقب يرو

رتفلا للاخ

ةدتمملا ة

ةنس د.م.ل ماظن قيبطت ةيادب نم

6112

ـ

6112

ةنس ةياغ ىلإ

6101

ـ

6102

فرط نم

دوعسم فوقشوب ةذتاسلأا

ة

و ةيرون راعرع ،

ر

.ةيروص باك

دقو

ةعوبطملا تدمتعا

لا فرط نم

ةنجل

يملعلا

ة

اذكو تايضايرلا مسقل

ل يملعلا سلجملا

ك

ةيل

مولعلا

ةقيقدلا

يروتنم ةوخلإا ةعماجل

ب

،ةنيطنسق

دعب

لل اهعاضخا

عجارم

ة

فرط نم

بخلا

:نيري

تسلأا

ا

و ةديمح يلع ذ

ذاتسلأا

نيعلا سار باهولا دبع

،

ثيح

انعسي لا

لاإ

يزجلا ركشلا ءادسا

ل

ريظن امهل

حئاصنلا

ةميقلا

.ةحرتقملا تاحيحصتلاو

،اريخأو

ذه مدقن ذإو

ةعوبطملا ه

نإف

ن

دقنلا لبقن ا

لإاو تاظحلاملاو

كلذلو ،ةقداصلا تاداشر

دق نوكن أطخ يأ يفلات لابقتسم اننكمي ىتح انيلإ تاداشرلاا هذه تلسرأ ول نيركاش نوكن

.هيف انعقو

:ةذاتسلأا

.ص

باكر

:لولأا لصفلا

ئدابم

ا ناهربلا قرطو قطنملا

تاحلطصم

ةيضاير

حلطصملا هزمر يزيلجنا يسنرف يبرع قطنم Logique Logic ةيضق Proposition ou assertion Statement  , , q p ةيضق يفن Négation d’une assertion

Negation of statement



,

, q

p

ةيقطنملا طبرلا تاودأ Connecteurs logique Logical connector لصو Conjonction Conjunction



p و q q et p q and p q p لصف Disjonction Disjunction



p أ و q q ou p q or p q p سا مازلت Implication Implication  p مزلتسي q اذإ p نإف q q implique p q alors p si q c imli p q then p if q p ؤفاكت Equivalence Equivalence  p ؤفاكت q p اذإ q q equivaut à p q eulement si s et si p q imlic p q if p q p تاممكم Quantificateurs Quantifiers نكي امهم Quelque soit For every  دجوي لقلأا ىلع Il existe au moins There exixts  ديحو وهو دجوي Il existe un seul

There exixts a unique !

ناهربلا قرط Methodes de raisonnements Methods of proofs رشابملا ناهرب Raisonnement directe Direct proof ضقانتلاب ناهرب Raisonnement par l’absurde Proof by contradiction ضيقنلا سكعب ناهرب Raisonnemnt par contraposition Proof by contraposition عجارتلاب ناهرب Raisonnement par récurence Proof by induction داضم لاثمب ناهرب Raisonnement par contre

exemple Proof by counterexample



PQ







P Q





PQ







PQ





PQ







P Q





PQ









PQ

 

 QP





 



xA,P x







xA,P

 

x



 



xA,P x







xA,P

 

x





PQ







PQ





PQ







Q  P



ةلولحم نيرامت

لولأا نيرمتلا

ا لامعتساب نهرب ضقلا ةحص ىلع رشابملا ناهربل ايا يلاتلا ة : أ) لك لجأ نم n ىلإ يمتني

ZI

ناف 33 48 16n2 n لإ يمتني ى IN . ب ) لك لجأ نم x ىلإ يمتني *  Q دجوي هناف n ىلإ يمتني IN ثيح x n . ت )





2 1 2r nr n n r r    

يناثلا نيرمتلا

ب ضقانتلاب ناهربلا لامعتساب نهر ةحص ىلع ضقلا ايل يلاتلا ة : أ) b a b a      0,  ب ) نييقيقح نيددع لك لجأ نم a و b ناك اذإ a b b a    1 1 ناف b a  . ت )



1



3 1 , ₂ *     n n n IN n .

ثلاثلا نيرمتلا

لا لامعتساب نهرب ىلع ضيقنلا سكعب ناهرب يضقلا ةحص نيت يلاتلا نيت : أ) نييقيقح نيددع لك لجأ نم a و b ناك اذإ b a ناف b a  . ب ) نكيل IN n . ناك اذإ هنأ نهرب 2 n ناف يجوز ددع n .يجوز ددع

عبارلا نيرمتلا

لامعتساب نهرب يضقلا ةحص ىلع عجارتلاب ناهربلا نيت يلاتلا نيت : أ) لك لجأ نم IN n ناف





2 3 3 3 2 1 2 1             n n n . ب ) يعيبط ددع لك لجأ نم هنأ نهرب n ناف n n _ 2 .

سماخلا نيرمتلا

لاثمب نهرب ضقلا أطخ ىلع داضم ايا يلاتلا ة : أ) IN xy y x IN y x      , : . ب )

x

x

IR

x







2

;

. ت ) ( نأ نهرب 0 1 , 2    x IR x .ةئطاخ ةيضق )

نيرامتلا لولح

لولأا نيرمتلا

أ) نكيل ZI n و عومجمو ءادج نأ امب ةيبسن دادعأ قرف ةحيحص ىلإ يمتنت يأ(

ZI

دادعأ يه ) ةيبسن ةحيحص نأ جتنتسن 33 48 16n2  n .يبسن ددع وه ىرخأ ةهج نم :انيدل



2 3



3 4 33 48 16n2  n  n 2  و ظحلان نأ * 3 2n ZI نذإ 1 3 2n  وأ 1 3 2n  يأ 1 3 2n  نذإ



2n3



2 1 انيدل هنمو



2 3



3 4 3 1 4 n 2     يأ IN n n 48 33 16 2 . ب ) نكيل *  Q x دجوي هناف * IN p و * IN q ثيحب q p x نأ امب q بجوم حيحص ددع امامت 1  q نذإ

x

xq

p





انيدل ىرخأ ةهج نمو x p p  2 رايتخا يفكي p n 2 .بولطملا ققحتي ىتح ت ) عضن



n

 

r n



r nr r r S  2  2  1  يلاتلاك دودحلا بيترت رييغت اننكمي ةيعيمجتو ةيليدبت ةيلمع عمجلا نأ امبو



n

 

r n



r r r r n S   1  2 2  ةغيصلا ىلع لصحن ،ادح ادح نيترابعلا عمجب هنمو



n



r n S 1 2   يأ





2 1 r n n S   .

يناثلا نيرمتلا

أ) نأ ضقانتلاب ضرفن



 0, ab  ab



نأ امب و نذإ .ةحيحص b a  نإف 0 2  b a رايتخاب هنمو 2 b a   دجن 2 b a b a   ىلع ةحجارتملا يفرط ةمسقبو

b a دجن 2 1 1 .ضقانت اذهو يأ



 0, ab  ab



ب ) فن ر نايقيقح ناددع دجوي هنأ ضقانتلاب ض a و b ثيح a b b a    1 1 و b a  . ب ام نأ a b b a    1 1 ناف



a

  

b b a1  1 نذإ 2 2 b b a a   هنمو a b b a2  2   ؤي اذه و د ىلإ ي



ab



ab

 

 ab



. و نأ امب b a ناف 0  b a ىلع ةمسقلابو b a دجن 1   b a نيددع عومجم نكلو .ضقانت ىلع نذإ انلصحت دقل ابلاس سيل نيبجوم و نييقيقح نيددع لك لجأ نم هنأ جتنتسن هنم a و b ناك اذا a b b a    1 1 ناف b a . ت ) دجوي هنأ يأ ةئطاخ اهضرفن 0 n ىلا يمتني * IN ثيح



1



3 1 0 0 2 0   n n n هنمو ث ) 2 1 1 2 2 3 ₀2 ₀2 _{0 0 0} 0 2 0 n  n  n n  n  n  n ضرفلا عم ضقانتي اذهو 0 n ىلا يمتني * IN . إ .ةحيحص ةاطعملا ةيضقلا نذ

ثلا نيرمتلا

ثلا

)أ نكيل a و b نأ ضرفن نابجوم نايقيقح ناددع b a  دجن نيفرطلا عيبرتب و

   

2 2

b

a



يأ b a . ناك اذا هنمو b a ناف . b a  . )ب رفن نأ ض n نأ نهربنو يدرف ددع 2 n .يدرف ددع n ددع دجوي هنأ ينعي يدرف ددع IN k ثيح 1 2   k n هنمو 2 12 4 2 4 1 2 1 2 _{      } l k k k n عم IN k k l2 22  يأ 2 n .يدرف ددع

عبارلا نيرمتلا

أ) لك لجأ نم هنأ نهربنل * IN n ناف





2 3 3 3 2 1 2 1             n n n .

 :ىلولأا ةلحرملا لجأ نم 1  n ةاواسملل رسيلأا فرطلا ناف 1 13  ةاواسملل نميلأا فرطلا امأ و

 

1 2 1 1 1 2 _        لا هنمو .ةققحم ةاواسم  :ةيناثلا ةلحرملا نكيل * IN k . فن لجأ نم ةققحم ةاواسملا نأ ضر k يأ





2 3 3 3 2 1 2 1             k k k و لجأ نم اهتحص نهربن 1  k يأ





3







2 3 3 3 2 2 1 1 2 1                k k k k ضرفلا نم













3 2 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1                 k k k k k



_{  }

3 2 2 1 4 1    k k k









4 1 4 1 2 3 2     k k k









4 4 4 12 2     k k k



 



4 2 12  2   k k







2 2 2 1          k k و .بولطملا وه و لك لجأ نم هنأ جتنتسن نيتلحرملا نم

IN

n



ناف





2 3 3 3 2 1 2 1             n n n . ب ) نهربنل عجارتلاب يعيبط ددع لك لجأ نم هنأ n ناف n n _ 2 .

 :ىلولأا ةلحرملا لجأ نم 0 0  n انيدل 0 1 20   .  لا لا ةلحرم ةيناث : تبثن 0  n نأ ضرفن مث n n _ 2 نأ نهربن و 1 2n1 n انيدل . 1 2 2 2 2 . 2 2n1  n  n  n n n n يعيبط ددع لك لجأ نم هنمو n ناف n n _ 2 .

سماخلا نيرمتلا

أ) رايتخا يفكي 3  x و 4  x دجنف IN xy y x  34125 هنمو IN xy y x IN y x      , : .ةئطاخ ب ) رايتخا يفكي 2   x هنمو 4 2 _ x دجن وف 2 2 4 2     x x هنمو

x

x

IR

x







2

;

.ةئطاخ

رامت

ةحرتقم ني

لولأا نيرمتلا

رشابملا ناهربلا لامعتساب نهرب نيتيلاتلا نيتيضقلا ةحص ىلع : أ) يقيقح ددع لك لجأ نم

1



r

ناف





r r r r r n n         1 1 1 1 2 _ . ب ) نييقيقح نيددع لك لجأ نم a و b ناك اذا 0  b a ناف b b a a    2 و b ab a  .

يناثلا نيرمتلا

ةحص ىلع ضقانتلاب ناهربلا لامعتساب نهرب ةيلاتلا اياضقلا : أ) 2 .يبسن ريغ ددع ب ) نييقيقح نيددع لك لجأ نم a و b ناف ab b a2  2 2 . ت ) لك لجأ نم * IN n ناف 1 2  n اددع سيل .ايعيبط

ثلاثلا نيرمتلا

ربلا لامعتساب نهرب ةيلاتلا ةيضقلا ةحص ىلع ضيقنلا سكعب ناه : y y x x y x IR y x        1 1 ; ,

عبارلا نيرمتلا

:نيتيلاتلا نيتيضقلا ةحص ىلع عجارتلاب ناهربلا لامعتساب نهرب أ) نم لك لجأ * IN n ناف





2 1 2 1 n n n . ب ) لك لجأ نم * IN n ناف



1a



n 1na ثيح a .امامت بجوم يقيقح ددع

سماخلا نيرمتلا

:نيتيلاتلا نيتيضقلا أطخ ىلع داضم لاثمب ناهربلا لامعتساب نهرب أ) 4 2 ;   2   x IR x x . ب ) 1 ;    x x IR x .

فلا

ص

:يناثلا ل

تاعومجملا

تاحلطصم

زومر

ةيضاير فيراعتو

حلطصملا هزمر وأ هفيرعت يزيلجنا يسنرف يبرع م ةعومج Ensemble Set  , ,  رصنع Elément Element



,

, y

x

ءامتنإ Appartenance Belonging



x

يمتني ىلإ





à ppartient a

x



in elongs b

x





x

ةيلاخ ةعومجم Ensemble vide Empty set



ءاوتحإ Inclusion Inclusion





ءزج نم





est une

p

artie de





is a

part of













 

 x :x x



ءازجأ ةعومجم ةعومجم Ensemble des parties Power set

 

 

  

  



 X / X ةاواسم Egalité Equality   يواست  est égale à  equal    





 

   



عطاقت Intersection Intersection



 عطاقت  inter Intersection









 



   x /x x داحتإ Union Union



 



   x /x x قرف



 



   

ةممتم Complément Complement



 



   x x x C / يرظانتلا قرف Différence symétrique Symmetric difference









 



          x x x x x / يتراكيدلا ءادجلا Produit cartesien Cartesian product

 



 



    x,y /x y ةيئانثلا ةقلاعلا Relation binaire Binary relation  , , S  ةيساكعنا réflexive reflexivity



x:xx



ةيرظانت Symétrique Symmetric



x,y:xy yx



ةيرظانت دض Antisymétrique antisymmetry              y x x y y x A y x, : ةيدعتم Transitive Transitivity               z x z y y x z y x, , : ةقلاع ؤفاكت Relation d’equivalence Equivalence relation ةقلاع بيترت Relation d’ordre Order relation قيبطت Application Map

 

x f y x F E f    :

 

x y f F y E x     , ! / ةروص Image Image or range y ةقباس Antécédent Preimage x نايب Graphe Graph

 

 



x y y f x



G , /  ةرشابم ةروص Image directe Image of a subset

 

A



f

 

x x A



f  / 

ةيسكع ةروص Image réciproque Inverse image

 

B



x E f

 

x B



f 1   /  عمج Addition Addition



f g

 

x f

   

x g x x F E g f       : ض بر Produit Product



f g

 

x f

   

x g x x F E g f . . : .    بيكرت Composition Composite



go f

 

x g



f

 

x



x G E f o g    : رماغ Surjective Surjective

 



yB,xA:y f x



نيابتم Injective Injective

 

 

2 1 2 1 2 1, : x x x f x f A x x      يلباقت bijective bijective يسكع قيبطت Application inverse Inverse map

 

y x f y E F f     1 1 : 

ةلولحم نيرامت

لولأا نيرمتلا

للع ؟ ةحيحص ةيلاتلا اياضقلا له .ةباجإ لك 0 )

      

1



1,



2 , 3



. 6 )



1,2,3

   

   1,2,3



. 3 قيبطتلا ) f لكشلاـب فرعملا IR IN f:  ، ثيح

 

x  x 2 f .رماغ قيبطت وه

يناثلا نيرمتلا

.ليلعتلا عم أطخ وأ حيحصب بجأ

   

1  1 

 

1,1 )0

   

1  1  0 )6

     

2  5  10 )3

   



 

)4

 





 )1

اثلا نيرمتلا

ثل



x,yIR:xS yx2  y2 0



:لكشلاب S ةقلاعلاIR ىلع فرعن ؟ بيترت ؟ ؤفاكت ؟ ةيدعتم ؟ ةيرظانت دض ؟ ةيرظانت ؟ ةيساكعنا S له

لا نيرمتلا

عبار

ةقلاعلا له S ىلع ةفرعملا



1,1



:لكشلاب





xS y



x y



IN y x       , 1,1: arcsin arcsin ؟ةيرظانت دض ؟ةيساكعنا .ةباجإ لك للع

لا نيرمتلا

سماخ

ةعومجملا نيب ةقلاع دجوت له ZI IN A  ةعومجملا و   .للع ؟

لا نيرمتلا

سداس

عباتلا له f نم فرعملا

 

1   IR وحن



1  IR لكشلاب

 

1 2 2   x x x f ؟رماغ

لا نيرمتلا

عباس

بسحأ  sin :ثيح

 

2 arctan t   و 2 0  .

لا نيرمتلا

نماث

نكتل A و B ثيح ناتعومجم

  





a a b



A , , و

   



a b



B , . زومرلا دحأ عض



،  ،



طقنلا ناكم . 1 (

 

a AB ، 2 )







a,b



AB ، (3

 

 

a AB ، 4 )

 



b



B A

لا نيرمتلا

عسات

. f

 

x  x2 5x1 ثيح f :IR_ IR_ نكيل ؟يلباقت قيبطت f له

لا نيرمتلا

رشاع

نكيل :

 

 

1 1 :     x x x g x IR IR g  و

 

 

1 1 1 : *     x x f x IR IR f  .g f قيبطتلا )نكمأ اذا( نيع

ا

لا نيرمتل

رشع يداح

قيبطتلا نكيل * * :IN IR_ f ثيح

 

x x x f  1 له. f نيابتم قيبطت رماغ ؟ ؟اذامل ؟

ثلا نيرمتلا

رشع ينا

ىلع ةفرعملا ةقلاعلا نكتل :يلي امك

y

x

y

x

y

x





2



2





. نأ نيب  .ةيرظانت و ةيساكعنا

نيرمتلا

لا

رشع ثلاث

ىلع فرعن 2 IR ةقلاعلا  :يلي امك

  

x,y  x,y



 xx yy . نأ نيب  .بيترت ةقلاع

لا نيرمتلا

رشع عبار

نيقيبطتلا نكيل f و g : لكشلاب نيفرعملا



1  IR

 

2 :IR g ثيح

 

2   x x x g و

 

2  IR

 

1/2 :IR f ثيح

 

x 2x1 f 0 نيع f g



. 6 نأ نيب f g



.يلباقت 3 نيع





1 f g .

تلا

لا نيرم

سماخ

رشع

ةقلاعلل ةيرظانتلا دض ةيصاخلا سردأ T ىلع ةفرعملا IR يلاتلا لكشلاب : 0 : ,   3 3 x y IR xT y x y

لا نيرمتلا

سداس

رشع

له ةقلاعلا S ىلع ةفرعملا * IN :لكشلاب km n IN k m S n   */  لاعف .بيترت ةقلاع يه

نيرامتلا لولح

لولأا نيرمتلا

0 نلأ حيحص )

 

1 تاعومجملا ةعومجم نم رصنع يه و ةعومجم

    



1, 2, 3



. 6 نلأ أطخ )



1,2,3

   

   1,2,3,



. 3 نلأ أطخ ) 1  y يف ةقباس هل تسيل IN .

يناثلا نيرمتلا

0 نلأ أطخ )



x x A x B



B A  /    هنمو

  

1  1  1 . 6 نلأ أطخ )



x x A x B



B A  /    هنمو

 

1  1 



. 3 نلأ أطخ )

 



x y x A y B



B A  , /    هنمو

     

2  5 



2,5



4 نلأ حيحص ) .

 

 

ةعومجملا وه دحاو رصنع ىلع يوتحت تاعومجم ةعومجم

 

. 1 نلأ حيحص ) ةعومجملا ةيلاخلا ةيأ يف ةاوتحم ةعومجم .

ثلا نيرمتلا

ثلا

1 ) S ةيساكعنا



xIR:xS x



 x S x يأ x2 x2 2 0نإف x1 لاثم لجأ نم ةقلاعلا هنمو S ةيساكعنا تسيل . 2 ) S ةيرظانت



x,yIR:xS y yS x



 .

x

2



y

2



0

يأ xSyنأ ضرفن x, yIR نكيل .ةيرظانت.S نذا ySx يأ

y

2



x

2



0

ناف يليدبت عمجلا نأ امبو 3 ) S ةيرظانت دض



x,yIR:xS yyS xx y





0

2 2





x

y

و

x

2



y

2



0

يأ ySx و xS y نأ ضرفن x, yIRنكيل .ةيرظانت دضSيلاتلاب وx  y 0 نذإ

x

2



y

2



0

هنمو

4 ) S ةيدعتم



x,y,zIR:xS yyS zxSz





0

2 2





z

y

و

x

2



y

2



0

يأ yS z و xS yنأ ضرفن x,y,zIR نكيل .x2  z2  0 نذإ x y  z0 يأ

y

2



z

2



0

و

x

2



y

2



0

هنمو .ةيدعتم Sيلاتلاب و .ةيدعتم و ةيرظانت و ةيساكعنا  ؤفاكتS )1 . ؤفاكت تسيل يهف هنمو ةيساكعنا تسيل S ةيدعتم و ةيرظانت دض و ةيساكعنا بيترت S )2 .بيترت تسيل يهف هنمو ةيساكعنا تسيل S

لا نيرمتلا

عبار

ةقلاعلا S ةيساكعنا







x 1,1 :xSx



 نكيل x رصنع نم



1,1



انيدل



arcsin xarcsin x0IN



ناف x S x هنمو S .ةيساكعنا ةقلاعلا S ت دض ةيرظان







x,y 1,1 :xS yySxx y



 نارصنعلا نكيل y x, نم



1,1



ثيح x S y y S x  ناف



















arcsin arcsin



0 0 arcsin arcsin arcsin arcsin 0 arcsin arcsin arcsin arcsin                   y x x y IN x y x S y y x IN y x y S x قيبطتلا نأ امبو arcsin نيابتم ناف y x ةقلاعلا هنمو S .ةيرظانت دض

لا نيرمتلا

سماخ

ةعومجملا انيدل ZI IN  نذا



 A ناف تاعومجملا لك يف ةاوتحم ةيلاخلا ةعومجملا نأ امب و B A .

لا نيرمتلا

سداس

f ارماغ سيل







 yIR 1;xIR_  1 : f(x) y





لجأ نم انيدل 2 1  y ناف 2 1 1 2 2   x x ةميق تناك امهم x يف

 

1   IR لاعف ،



1



2 1 1 2 2 2            x x x هنم و ، f .ارماغ سيل

لا نيرمتلا

عباس

  cos sin t2  2 cos sin t    

 

2 2 tan arctan t  t    ةقلاعلا لامعتساب 1 cos sin2  2  دجن



2

 

4 4 1 sin  t t نذإ 4 2 1 sin t t    نلأ 2 0  .

لا نيرمتلا

نماث

1 (

 

a AB ، 2 (







a,b



 AB ، (3

 

 

a  AB ، (4

 



b



 B  A

لا نيرمتلا

عسات

قيبطت سيل f هنمو f

 

1 3IR_نأ ظحلان

لا نيرمتلا

رشاع

IR IR f g : *



g f

 

x g



f

 

x



1x

لا نيرمتلا

رشع يداح

1 -f نيابتم

   







* ₁



₂



₁



₂





2 1

,

x

IN

:

f

x

f

x

x

x

x

   

1 2 3 2 3 1 2 2 1 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x f x f        هنمو f .نيابتم

6 -f رماغ

 













y

IR

_*

,

x

IN

*

/

y

f

x

3 ₂ 3 2 1 1 1 y x x y x x y     ذخأن . 2  y هنمو IN x3  4 1 نذإ f .ارماغ سيل

لا نيرمتلا

رشع يناث

 ةيساكعنا





x



IR

,

x



x



x

2



x

2



x



x





.امود ةققحم يه و . هنم و  .ةيساكعنا  ةيرظانت



x,yIR, xy  yx





x

y

x

y

x

y

y

x

y

x

y

x





2



2







2



2









. هنم و  .ةيرظانت

لا نيرمتلا

ثلاث

رشع

 ةيساكعنا 

 

x

,

y



IR

2

   

x

,

y



x

,

y



0 0    x y y x 



x,y

 

 x,y



هنمو امود ةققحم ةحجارتم  .ةيساكعنا  ةيرظانت دض 

   

x

y

x



y





IR

           

x

y



x



y





x



y





x

y



x

y



x



y





,

,

,

2

,

,

,

,

,

,

,

  



 

 

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 , , 0 , , y y y y y y y y x x y x y x y y y y y y x x y x y x                             x x x x       0 0 0 xx  yy  y y  هنم و  .ةيرظانت دض

 ةيدعتم 

  

 



  





 



  



                                  y x y x y x y x y x y x IR y x y x y x , , , , , , ; , , , , , 2

  





x y

 

x y



x x y y x x x x y y y y x x y x y x                                    , , , , نأ امبو x x x x x x x x x x             نذإ y y x x x x x x          هنم و  يلاتلابو .ةيدعتم  .ؤفاكت

لا نيرمتلا

عبار

رشع

0

 

1 2



1 :IR IR f g



 



 







1 2 1 2 1 2        x x x g x f g x f g x  . 6 f g



يلباقت



 

  g f x y  :



1, !  

 

1 2   y IR x IR



1



2 1 1 2 1 2        y y x x x y هنم و ديحو لح كانه f g



.يلباقت 3



g



f



1:IR



1  IR

 

12



  

_

_

1 2 1 1     x x x f g x  

لا نيرمتلا

سماخ

رشع

T ةيرظانتلا دض





x

,

y



IR

:

x

T

y



y

T

x



x



y





نكيل x و y نم نايفيك نارصنع IR ضرفنو x T y y T x  يأ

3 3 3 3

0

x

y

y

x

y

T

x











و 3 3 3 3

0

x

y

x

y

x

T

y











هنمو

y

x

x

y

3



3





ةيصاخلا نذإ T .ةيرظانتلا دض

لا نيرمتلا

سداس

رشع

１ ) S ةيساكعنا



nIN* :nSn



 نكيل n نم ايفيك ارصنع * IN . دجوي هناف k نم * IN ثيحب kn n ذخأ يفكي 1  k هنمو n S n . ２ ) S ةيرظانت دض







n,mIN*: nSmmSn nm



 نكيل n و m نم نييفيك نيرصنع * IN نأ ضرفن . m S n و n S m دجوي يأ k و ' k نم * IN ثيحب km n و n k m ' هنمو n kk n ' ىلع نيفرطلا ةمسقب n ( 0  n ) دجن 1 ' kk ديحولا لحلاو وه 1 ' k k هنمو m n . ３ ) S ةيدعتم







n,m,lIN*: nSmmSl nSl



 نكيل n و m و l نم ةيفيك رصانع ثلاث * IN نأ ضرفن . m S n و l S m دجوي يأ k و ' k نم * IN ثيحب km n و l k m ' هنمو l kk n ' نأ امب ' kk ىلا يمتنت * IN ناف l S n . نم 0 و ) 6 و ) 3 يهف ) .بيترت ةقلاع

ةحرتقم نيرامت

لولأا نيرمتلا

ةعومجملا نكتل



1,2,3



 A ارتقلاا له. ؟ةحيحص ةيلاتلا تاح A  3 , 6) A  2 , 5)

 

A A , 4) A   , 3)



1  A , 2)

 

  A 1) ,







1,2 ,3



 A , 8)

 

1,2  A 7)

 

A A   , 10)

A

A







9)

يناثلا نيرمتلا

: ةيلاتلا تاعومجملا نكتل

 

1,3 , 



1,2



, 



0,3



 F G E . دجوأ

 

F



E G





F E



G E E F E , ,   ,   ,   .

 

E P



E G



P



E G



P



F



E G





P ,  ,  ,  

ثلاثلا نيرمتلا

نكتل T رعم ةقلاع ىلع ةف IR :يلاتلا لكشلاـب



x

y



y

x

y

T

x

IR

y

x













,

:

3 3

3

له T ؟ؤفاكت ةقلاع

عبارلا نيرمتلا

نكتل T ىلع ةفرعم ةقلاع IR :يلاتلا لكشلاـب

y

x

y

x

y

T

x

IR

y

x













,

:

3 3

3

له T لاع ؟ؤفاكت ةق

سماخلا نيرمتلا

ةقلاعلل ةيرظانتلا دض ةيصاخلا سردأ T ىلع ةفرعملا IR :لكشلاب

IN

y

x

y

T

x

IR

y

x











2 2

:

,

سداسلا نيرمتلا

:ةيلاتلا عباوتلا نكتل







IN

g

IR

IR

IN

f

:

:

*



1 /



1 / :IR IR h  2 2 1 4 x x x x   1 2 2   x x x له g ، f و h ةنيابتم تاقيبطت ةرماغ ؟ ةيلباقت ؟ ؟

عباسلا نيرمتلا

قيبطتلا فرعن f لكشلاب

 

x y x y ZI IN IN f     , : دجوأ

      









1,1, 1,2 , 2,1, 2,2



f و

 

 

0

1 

f

؟جتنتست اذام ،

نماثلا نيرمتلا

:ةيلاتلا تاعومجملا نيب ةنكمملا ةاواسملا و تاءاوتحلاا لك يطعأ





/

2





4





z

IR

z

D

،



 ; 0



 x Q x A ،       _{ }  / , , 0 2k a k k a B Q E . ،   F ،



 / 24



 z IC z C

عساتلا نيرمتلا

نكيل



1,2,3,4,5,6,7



 E نم ةيلاتلا ءازجلأا نكتل و E :



1,2,3,4



, 



4,5,6,7



, 



1,3,5,7



, 



2,3,4,5,6



 B C D A :بسحأ



AB

 

 CD



,



AC

 

 BD



رشاعلا نيرمتلا

ةعومجملا نكتل A ةفرعملا يلاتلاك

  





a a b



A , , نيزمرلا دحأ عض .



،  :طقنلا ناكم A a ....



a,b



.... A ,

 

b .... A , b,a.... A 0 ةعومجملا بتكأ B نع ةجتانلا ضيوعت a ـب b و b ـب a ةعومجملا يف A . 6 ناتعومجملا له A و B ؟ اذامل ؟ ناتيواستم

رشع يداحلا نيرمتلا

ةقلاعلا نكتل S ىلع ةفرعملا 2 IN :يلاتلا لكشلاب

   

x

y

x

y



IN

   

x

y

S

x

y



x



y



x



y



,

,

,'

'

2

:

,

,'

'

'

'

نأ نيب S ىلع ؤفاكت ةقلاع 2 IN .

رشع يناثلا نيرمتلا

نم تاقيبطتلا نكتل

 

0,1  IR وحن IR ، :ـب ةفرعملا

 

x x f 1 ،

 

x x g  1 ،

 

1   x x x h ،

 

x x i  ،

 

x x x k  1 ،

 

x x l   1 1 . ؟ ةيلباقت تاقيبطتلا هذه لك له

رشع ثلاثلا نيرمتلا

قيبطتلا نكيل f لا لكشلاب فرعم

 

1 2 cos 2 : 2 _    x x f x IR IR f 0 نأ نيب f .رماغ ريغ و نيابتم ريغ قيبطت 6 -نيتعومجم دجوأ A و B نم نيتيئزج IR لباقت دجوي ثيحب g نم A وحن B :ثيحب

 

x f

 

x g A x   : 3 نيع 1  g ؟

رشع عبارلا نيرمتلا

لك لجأ نم IR x ـل حيحصلا ءزجلا فرعن x ـب هل زمرنو ) (x E يواسي وأ لقأ حيحص ددع ربكلأ x . ةقلاع نذإ فرعن IR IR E:  . نايبلا مسرأ E لجأ نم



2,2



 x .

نيع

 







E

1

0

,

2



,

E

1



 

0

,

2



,

E



 

0

,

2



E

  . طعأ E E  .

يرمتلا

رشع سماخلا ن

قيبطتلا نكيل f : يلاتلا لكشلاب فرعملا IR 

 

1  IR f : ثيح

 

1 5 2    x x x f -له f ؟ نيابتم ؟رماغ ةعومجم دجوت هنأ نيب F نم IR لباقت دجوي و g نم



1  IR وحن F :ثيحب

   

x g x f  :

 

1  IR   x دجوأ 1 

g

.

:ثلاثلا لصفلا

يقيقح ريغتمل ةيقيقحلا لاودلا

دودحملا رشنلاو

ةيضاير فيراعتو تاحلطصم

حلطصملا هزمر هفيرعت وأ يزيلجنا يسنرف يبرع عبات وأ ةلاد Fonction Function  , , g f ةعومجم فيرعتلا Domaine de définition Domain of function

 



x IR f x IR



D_f   /  ةيثلثم ةلاد Fonction trigonométrique Trigonometric function x x f : sin

,

x x f : cos x x f : tan

,

x x f : cot ةيسأ ةلاد Fonction exponentielle Exponential function x e x f :  ةيمتراغول ةلاد Fonction logarithmique Logarithmic function x x f : ln يدئاز بج Sinus hyperbolique Hyperbolic sine 2 sinh : x x e e x x f     يدئاز مامت بج Cosinus hyperbolique Hyperbolic cosine 2 cosh : x x e e x x f     ةوقلا ةلاد Fonction puissance Power function x e x x f :    ln بولقملا ةلاد Fonction inverse Inverse x x f :  1 ةدودحم ةلاد Fonction bornée Bounded function

 

x M f m D x IR m M    _f    , , : ةياهن Limite Limits

 



 





                 l x f x x D x l x f f x x 0 : , 0 , 0 lim 0 رارمتسإ Continuité Continuity

 

 

0 0 lim f x f x x x  

ديدمت رارمتسلإاب Prolongement par continuité Cartesian product

 

 

_{ }

        , 0 lim , ~ 0 x x x f D x x f x f x x f قاقتشإ Dérivation Derivative

 

 

           _{x x} l IR x f x f x x 0 0 0 lim

 

x l f   ' ₀ لا عبات قتشم Fonction dérivée Derivative function لضافت Différentiabilité Differentiation روليات غيص Formules de Taylor The taylor’s formula

 

 





 

 







n



n n x x R n x f x x x f x f 0 0 0 0 !        دودحم رشن رفصلا راوج Déveleppement limité au voisinage de zero Finite expansion at zero

 

 

n n nx x a x a x a a x f         2 2 1 0 دودحم رشن راوج ةياهنلاام Développement limité au voisinage de l’infini Finite expansion at infinity

 

x f x IR D f ' : '  

 

h f

 

x h df h IR IR df x x 0 ' 0 0   

 

           _n n n x x a x a a x f ₀ 1 ... 0 1

ةلولحم نيرامت

لولأا نيرمتلا

يقيقحلا عباتلا نكيل f يلي امك فرعملا

 

x x x f ln 1   . 0 نيع f D عباتلا فيرعت ةعومجم f . 6 بسحأ

 

x f x 0 lim   . 3 بسحأ

 

x f x 1 lim  . 4 قتشملا عباتلا نيع ' f عباتلل f . 1 بسحأ

 

2 f و

 

2 ' f . 2 -يات رشن طعأ عباتلل رول f ةطقنلا راوج ىلولأا ةبترلا نم 2 0  x .

يناثلا نيرمتلا

ةياهنلا بسحا لاتيبول لامعتساب





3 2 0 cos 1 lim x x x ex x    .

ثلاثلا نيرمتلا

نيع a و b ةلادلا نوكت ىتح f ـــب ةفرعملا              1 ln 1 2 2 5 ) ( x x x b x a x x f ىلع ةرمتسم

IR

.

عبارلا نيرمتلا

1 عباتلا نكيل f ـب فرعملا

 

x x x f  2 ln . أ - نيع f D فيرعت ةعومجم f . ب - بسحأ

 

x f x 0 lim   عضوب( لاتيبول ةدعاق لامعتساب

 

1 ln x x f  )

2 عباتلا فرعن g لكشلاب

 

       0 , 0 , ln 2 x D x x x x g f أ - عباتلا رارمتسا سردأ g نيمي ىلع 0 0  x . ب - قتشا ةيلباق سردأ عباتلا قا g نيمي ىلع 0 0  x . ج - بسحأ

 

1 f ،

 

1 f  . د عباتلل يهتنملا رشنلا يطعأ f راوج 1 ةبترلا ىتح 2 .

سماخلا نيرمتلا

0 يقيقحلا عباتلا نكيل f يلي امك فرعملا

 

x x x x f 3 sin 2 _  أ نيع f D عباتلا فيرعت ةعومجم f . ب بسحأ ) ( lim 0 f x x . 2 عباتلا فرعن g :لكشلاب

 

        0 , 0 , 3 sin 2 x D x x x x x g f عباتلا رارمتسا سردأ g دنع 0 0  x . ب عباتلا قاقتشا ةيلباق سردأ g دنع 0 0  x .

سداسلا نيرمتلا

عباتلا نكيل f يلاتلا لكشلاب فرعملا

 

) 2 ln( 1 : ₂     x x x x f x f 0 نيع ) f D عباتلا فيرعت ةعومجم f . 6 نيتياهنلا بسحأ ) ) ( lim 1 x f x و ) ( lim 2 x f x  . أ) عباتلا فرعن g : يلاتلا لكشلاب

 

             2 , 0 1 , 1 , ) ( : x x D x x f x g x g f 1 ) نيع g D عباتلا فيرعت ةعومجم g . 2 ) عباتلا رارمتسا سردأ g نيتطقنلا دنع 1 0   x و 2 1  x . 3 ) عباتلا قاقتشا سردأ g ةطقنلا دنع 2 1  x . 4 ) إ( نارول كام رشن يطعأ عباتلل )دجو ن g .ةثلاثلا ةجردلا ىتح

عباسلا نيرمتلا

0 -يقيقحلا عباتلا نكيل f يلي امك فرعملا ) 1 ln( sin ) ( x x x f   نيع )أ f D عباتلا فيرعت ةعومجم f . بسحأ لاتبول ةقلاع لامعتساب )ب ) ( lim 0 f x x . ـل نارول كام ةغيص يطعأ )ج x sin و ) 1 ln(  x .ةيناثلا ةبترلا نم عباتلل دودحملا رشنلا دجوأ )د f بسحأ مث ، ىلولأا ةبترلا نم رفصلا راوج ) 02 , 0 ( f . 1 يقيقحلا عباتلا فرعن g : لكشلاب       0 , , ) ( ) ( x a D x x f x g f يقيقحلا ددعلا ةميق نيع a عباتلا نوكي ىتح g ةطقنلا دنع ارمتسم 0 0  x .

نماثلا نيرمتلا

فرعملا عباتلا نكيل ـب

 

x x x f  2 1 1 1 -عباتلل فيرعتلا ةعومجم بسحأ f . 2 بتكأ f .ةقلطملا ةميقلا زمر نود 3 نأ نيب f ىلع ةرمتسم * IR .