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Submitted on 1 Jan 1911
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Mouvement oscillatoire et mouvement uniforme des liquides dans les tubes cylindriques. frottement interne -
Deuxième partie. Etude de l’écoulement uniforme d’un liquide dans un tube cylindrique
M. Menneret
To cite this version:
M. Menneret. Mouvement oscillatoire et mouvement uniforme des liquides dans les tubes cylindriques.
frottement interne - Deuxième partie. Etude de l’écoulement uniforme d’un liquide dans un tube cylindrique. J. Phys. Theor. Appl., 1911, 1 (1), pp.797-804. �10.1051/jphystap:01911001010079701�.
�jpa-00241608�
797 Il faut observer, de plus, que l’équation (5) n’est applicable, ni,
comme on a vu déjà, au commencement de chaque oscillation simple,
ni même vers la fin, alors que la pesanteur enraie uniformément le
.
mouvement dans toute l’étendue de chaque section c et qu’elle doit,
par conséquent, avoir annulé et même renversé la vitesse près des parois, bien avant de l’avoir annulée près de l’axe : il doit donc y avoir alors, près des parois, des contre-courants notables. Enfin, à
aucun moment, cette équation (5) ne peut s’appliquer près des deux ménisques terminaux de la colonne ; là où la capillarité rend la
vitesse U commune à tous les filets fluides.
En résumé, ces phénomènes, si simples d’apparence, sont fort complexes au iond ; et la théorie n’y fournit, dans les deux cas, qu’une approximation, suffisante toutefois pour jeter un peu de lumière sur la question.
MOUVEMENT OSCILLATOIRE ET MOUVEMENT UNIFORME DES LIQUIDES
DANS LES TUBES CYLINDRIQUES. FROTTEMENT INTERNE (1);
Par M. M. MENNERET.
DEUXIÈME PARTIE
ÉTUDE DE L’ÉCOULEMENT UNIFORME D’UN LIQUIDE
DANS UN TUBE CYLINDRIQUE
C’est après avoir remarqué que les formules données jusqu’ici pour représenter le régime hydraulique ne tiennent pas compte de l’exis- tence d’une vitesse critique que j’ai repris l’étude de l’écoulement uniforme.
Le tube d’écoulement TT’ horizontal (fig 1) est fixé à un flacon F
d’une dizaine de litres. Plusieurs de ces tubes portent en A, sur une petite ouverture, un tube manométrique ; alors, dans l’écoulement par le tube AT’, la perte de charge à l’entrée se trouve éliminée. La
chargeâ l’orifice T est mesurée par la hauteur H et la charge en A
par la hauteur H~ . En E se trouve un trop-plein qui déverse cons-
(i) Voir ce vol. p. 153.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01911001010079701
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tamment. Le débit D est mesuré en pesant l’eau écoulée en un temps
’ connu. Le rayon r du tube est mesuré par un jaugeage au mercure, après avoir reconnu que le tube est à peu près cylindrique.
FIG. 1.
Je crois inutile de rapporter ici les expériences qui ne présentent
aucune difficulté : on les trouvera dans le mémoire détaillé ou dans la thèse. J’insisterai surtout sur les résultats.
Étude du premier régime d’écoulement uniforme. - 1.0 Expériences faites avec laportion de tube AT’, e’est-â-dire en éliminant la perte de charge à l’entrée. Ces expériences montrent que pendant le pre-
. ,.
u
mer régime 1)’ est constant.
Donc, pourvu que l’on élimine la perte de charge à l’entrée, quel que soit le diamètre du tube, la loi de Poiseuille s’applique pendant le premier régime. Ainsi j’ai obtenu pour l’eau les valeurs suivantes
de -1 :
M. Couette (thèse 1890) avait déjà établi ce même résultat ainsi que le suivant.
Pendant le deuxième régime 1’
augmente avec D.
.D
La représentation graphique (fig. 2) donne donc pour le premier régime une droite AC, pour le deuxième régime une courbe CB
d’allure parabolique.
799
.
Leur rencontre définit en C le point critique algébrique. Sur quatre
tubes diFférents j’ai vérifié que ce point C satisfait à l’équation de Reynolds :
J’ai tenu à faire cette vérification avant d’appliquer la formule de Reynolds dont j’aurai besoin plus loin.
Il est certain que, ici encore, le passage d’un régime à l’autre se
fait non par un point anguleux, mais par une courbe telle que
CjC : l’expérience le montre.
2° Étude du premie)- sui- le tube
--Perte de charge
à l’entrée.
-Si H est la différence de charge entre les deux extré-
mités du tube TT’, les résultats expérimentaux que j’ai obtenus et
ceux que j’ai puisés dans la thèse de NI. Couette montrent que pen- dant le premier régime le rapport D augmente avec D.
Or, d’après le paragraphe précédent, la loi de Poiseuille s’applique jusque dans le voisinage de l’extrémité T du tube, on en conclut alors nécessairement que, à l’entrée du tube, il se produit une perte
de charge qui va en augmentant avec la vitesse : elle est employée
au moins en grande partie à con1ffiuniquer au liquide sa force vive.
FIG. 2.
Cette perte décharge a été déterminée théoriquement par M. Couette.
Pourtant l’expérience montre que la correction ainsi calculée est
insuffisante, et M. Couette ajoute alors le terrrle correctif À, ce qui
donne la formule
De l’avis même de M. Brillouin, cette formule est encore insuffi-
800
sante pour les grandes vitesses du premier régime. Pour ces raisons j’ai cherché à utiliser les résultats de nos expériences pour trouver le terme correctif.
Pour tous les tubes que j’ai employés, J îi la variation de H pendant p
le premier régime est bien représentée par :
A et B étant des constantes dépendant du tube. J’indique seule-
ment ici les formules (1) relatives à chacun de mes tubes et j’y joins
celles qui représentent les expériences de M. Couette :
Résultats de mes expériences.
Résultats déduits des expériences de LW. Couette.
J’ai utilisé également les expériences de Poiseuille dites de la deuxième série. Partout le premier régime est représenté par la
forme d’équation ci-dessus.
Cette équation s’écrit :
La perte de charge à l’entrée est donc = BD2 et le terme Ho AD
représente la charge absorbée par les frottements. On doit donc
avoir, d’après la loi de Poiseuille :
801 En utilisant les valeurs de A indiquées ci-dessus, on obtient les valeurs suivantes de -r, :
Ces valeurs de -fi pour l’eau concordent bien avec celles de Poi- seuille. J’ajouterai qu’elles sont nettement meilleures que celles que donnent la formule de M. Couette.
La relation (2) ci-dessus peut s’écrire, en remplaçant AD par H -BD 2 et posant
et les valeurs numériques de K conduisent nettement à écrire (voir
mon mémoire) :
La formule complète du premier régime s’écrit donc :
en consultant les tableaux numériques de ma thèse, on verra que par cette formule on obtient des valeurs de v, meilleures que par la for- mule de 1B1. Couette, qui jusqu’à présent était préférable aux autres.
Étude du deuxième régime d’écoulement uniforme.
-Les ingé-
nieurs hydrauliciens admettent, d’après d’anciennes expériences, que
la perte de charge à l’entrée d’un tuyau est, pendant le deuxième régime (en l’exprimant en colonne du liquide étudié) :
Devant utiliser cette formule plus loin, je l’ai d’abord vérifiée au
802
moyen d’expériences personnelles et au moyen d’expériences tirées
de la thèse de M. Couette, toutes ont donné une très bonne vérifi- cation. Il en résulte que la charge absorbée par les frottements est,
pendant le deuxième régime :
Recherche de l’équation représentant le deuxième régi1ne d’écoule- mentunilorme dans un tube.
-L’étude du deuxième régime d’oscil-
lation nous a conduit à cette conclusion : Tout se passe dans ce
régime comme si le coefficient de frottement était le même que dans le premier, et comme si les molécules glissaient les unes sur les
autres suivant un chemin de longueur supérieure à la longueur 1 de
la colonne liquide : en d’autres termes, il se produit des tourbillons.
Il est alors naturel d’admettre que, ici encore, le coefficient de frot- tement est le même; mais le chemin de glissement L est plus grand
que la longueur 1 du tube.
Je calcule alors L en appliquant la formule de Poiseuille :
H., charge absorbée par les frottements sur la longueur 1 du tube,
est donnée par la formule (4).
Pour les expériences où le tube porte un manomètre en A, la va-
leur de L correspondant à la portion de tube AT se calcule en rem- plaçant Ho par FI,, qui est directement donné par l’expérience.
Pour chacun des tubes, j’ai calculé la vitesse critique Ve par la
formule de Reynolds, et j’ai fait figurer dans les tableaux d’expé-
riences le rapport L On trouvera tous ces résultats expérimentaux
dans le mémoire complet (Annales de la Faculté de Grenoble) et
dans ma thèse (mai 1911).
Pour trouver la représentation algébrique des expériences, il
suffit de remarquer que, au point critique, on a L = 1 etV
=Vc. Il y
a donc lieu d’essayer une équation de la forme :
m et n étant des constantes.
803 Les résultats de mes expériences sont très bien représentés par :
quels que soient le diamètre et la longueur du tube. Dans mes
expériences, ie diamètre du tube varie entre Olm,13 et
Cette formule représente aussi très bien les expériences de
M. Couette où le rayon varie de 0,09 à 0,30.
Elle est aussi parfaitement d’accord avec les expériences anciennes
de Bossue faites avec des tubes beaucoup plus larges : r
=1 cm ,81
et r ==2cm,71.
Dans ces diverses expériences, la vitesse a varié de 33 centimètres par seconde à 439 centimètres par seconde, et le débit de quelques
centimètres cubes à 3.710 centimètres cubes par seconde.
Elle se montre également d’accord avec la formule de M. Maurice Levypour des tubes dont le rayon va jusqu’à 1 mètre et plus. Cette
formule de M. Levy, déduite de considérations théoriques, est, sous la forme que lui a donnée son auteur pour les tuyaux incrustés, très appréciée par les ingénieurs hydrauliciens.
Si on se place loin du point critique, de façon que l’unité soit
négligeable à côté de L et de
V la formule (5) s’écrit alors :
g g 1 V,
K étant une fonction de r, de u. et de -n. Hagen, en Allemagne, puis Reynolds, en Angleterre, ont donné, dans ces mêmes conditions, une
formule analogue avec, respectivement, pour exposants 1,’l~ et 1,722..
T
La formule que j’obtiens se trouve donc ainsi d’accord avec celles de
Hagen et de Reynolds.
Généralisation de cette roî-mule.
-La formule a été établie par des expériences faites uniquement avec l’eau. Mais quelques expériences faites avec d’autres liquides m’ont nettement montré qu’elle s’applique encore, quelle que soit la nature du liquide. Elle s’applique donc àtous les tubes et à tous les liquides, et nous verrons
du reste plus loin une autre preuve de cette généralisatiwi dans le
cas des gaz.
Théorème des états correspondants.
-Si, dans une expérience du
deuxième régime, Ho est la charge absorbée par les frottements, on a:
804
Au point critique, la charge étant H«~ et le débit De, on a :
d’où:
et alors l’équation (5) s’écrit :
(et nous pouvons remarquer qu’elle s’applique aussi au premier
en remplaçant le deuxième membre par zéro).
On déduit de cette équation l’énoncé suivant :
THÉORÈME DES ÉTATS CORRESPONDANTS. - Pour des vitesses corres-
pondantes, les charges absorbées par les frottements sont aussi eor- respondantes, quels que soient le tube et le liquide, et celapour les deux régime.
Résultat très général, analogue à celui trouvé dans l’étude du mouvement oscillatoire.
Complément. - J’ai cherché à représenter de la même façon (voir
.
ma thèse) les expériences faites par M. Couette avec l’eau et avec
l’air par la méthode du cylindre tournant. J’ai trouvé qu’une équation
du type de l’équation (5), la même pour les deux fluides, eau et air, r eprésente bien les expériences : ce qui confirme la généralisation
.