I – Polynômes et coefficients

BCPST Polynômes

POLYNÔMES

Dans tout ce qui suit,Kdésigne indifféremmentRouC.

I – Polynômes et coefficients

1^o) Définitions Définition 1 :

On appellefonction polynôme, ou plus simplementpolynôme, toute fonctionP définie surR^par P(x)=anxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+. . .+a1x+a0 , oùn∈Net (ak)_0≤k≤n est une famille deKⁿ⁺¹. Les scalaires a0, . . .,an sont appeléscoefficientsdu polynôme. Sian6=0,n est appelédegrédu polynômeP, noté

deg(P) ou ∂^oP , etanxⁿest appeléterme dominantdeP.

Remarque : On parle de polynôme réel siK=Ret de polynôme complexe siK=C. Le polynôme nul est la fonction nulle surR. Par convention, on pose deg(0)= −∞. Un terme de typea_kx^k est appelé monôme, de sorte qu’un polynôme est une somme de monômes.

Définition 2 :

On note K^[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dansK. Pour toutn∈N^{, on note} Kn[X]

l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal ànet à coefficients dansK^. Remarque : Sik∈N, on note la fonctionX^k:

¯

¯

¯

¯

R −→ R

x 7−→ x^k , avec la convention que 1 désigne aussi la fonction constante égale à 1 : X est la fonction identité, X² est la fonction carré. Un polynôme peut alors se noterP = anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+. . .+a1X+a0.

Première propriété fondamentale des polynômes, déjà utilisée car c’est sur elle que repose la méthode d’identification :

Propriété 1 :

Deux polynômes sont égaux ssi ils sont de même degré et ont les mêmes coefficients.

Démonstration : Admis.

Remarque : En pratique, pour des polynômes réels, l’égalité sur un intervalle deRsuffit. Nous verrons plus loin qu’on peut se contenter d’encore moins que cela.

2^o) Opérations sur les polynômes

a) Combinaison linéaire Propriété 2 :

Toute combinaison linéaire de polynômes est un polynôme. De plus, si P et Q sont deux polynômes de coefficients respectifs(ak)0≤k≤n et(bk)0≤k≤n, alors pour tout(λ,µ)∈K², le polynôme λP+µQ a pour coefficients(λak+µbk)_0≤k≤n. Enfin, on a deg(λP+µQ)≤max(deg(P), deg(Q)).

Démonstration : Immédiat.

Remarque : Le résultat précédent est en particulier vrai pour la somme de deux polynômes. Dans ce cas, si deg(P)6=deg(Q), alors on a deg(P+Q)=max(deg(P), deg(Q)).

Exemple 1 : P=3X⁵+2X²+2X−1 etQ=2X⁵+4X³−3 : degré et coefficients de 2P−3Q?

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BCPST Polynômes b) Produit

Propriété 3 :

Le produit de deux polynômes est un polynôme. De plus, si P et Q sont deux polynômes de coefficients respectifs(a_k)_0≤k≤n et(b_k)_0≤k≤p, alors le polynôme P×Q a pour coefficients(c_k)_0≤k≤n+p définis par ck= X

i+j=k 0≤i≤n, 0≤j≤p

aibj. Enfin, on a deg(PQ)=deg(P)+deg(Q).

Démonstration : On observe le coefficient dominant dePQpour obtenir le degré. Un peu de calcul mène aux coefficients.

Exemple 2 : P=X²−3X+3,Q=4X³−2X : degré et coefficients dePQ.

c) Dérivation Définition 3 :

SiPest un polynôme deR^[X], on appellepolynôme dérivé, notéP⁰, la dérivée de la fonction polynôme P. On définit plus généralement le polynôme dérivék-ièmeP^(k)comme la dérivéek-ième de la fonc- tion polynômeP.

Remarque : SiP∈C[X], difficile de définir un polynôme dérivé sans avoir de connaissances sur la dérivation des fonctions à valeurs complexes. Pour contourner cet obstacle purement théorique, on convient de poser dans ce cas, pourP=a_nXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+. . .+a₁X+a₀,P⁰=na_nXⁿ⁻¹+(n−1)a_n−1Xⁿ⁻²+. . .+2a2X+a₁, et de même pour les polynômes dérivés successifs.

Propriété 4 :

Sideg(P)≥1, alors deg¡ P⁰¢

=deg(P)−1 et sideg(P)<1, alorsdeg¡ P⁰¢

= −∞.

∀k∈N, si k≤deg(P), alors deg³ P^(k)´

=deg(P)−k et si k>deg(P), alorsdeg¡ P^(k)¢

= −∞.

Démonstration : À écrire. Où l’on se penche sur la dérivéek-ième deX^pce qui permet d’écrire les coefficients de P^(k)et d’observer le lien entre coefficients et dérivées successives en 0.

II – Polynômes et racines

1^o) Notion de racine Définition 4 :

On appelleracined’un polynômeP tout scalairea∈K^{vérifiantP(a)}=0.

Propriété 5 :

a est une racine du polynôme P ssi le polynôme X−a divise P , c’est-à-dire s’il existe un polynôme Q tel que P=(X−a)Q.

Démonstration : Un sens est évident, l’autre est admis par manque cruel de formule de Taylor.

Généralisation : Propriété 6 :

Les scalaires a₁, a₂, . . . a_k sont des racines distinctes du polynôme P ssi le polynôme (X−a1)(X−a2) . . . (X−ak)divise le polynôme P .

Démonstration : Par récurrence évidemment.

Exemple 3 : Racines du polynôme 3X³+14X²+7X−4 (où l’on s’entraîne à la factorisation à vue).

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BCPST Polynômes Le nombre de racines est limité par le degré du polynôme :

Propriété 7 :

1^o) Si P est un polynôme de degré n∈N, alors P admet au maximum n racines dansK^. 2^o) Si P admet n racines dansK^{et sideg(P)}<n, alors P est le polynôme nul.

Démonstration : Le premier point est une conséquence du résultat précédent, le second s’obtient aisément par l’absurde et à l’aide du premier.

On retient qu’un polynôme ayant plus de racines que son degré est nul.

Exemple 4 : On peut montrer que les fonctions trigonométriques ne sont pas des polynômes.

2^o) Racines multiples Définition 5 :

SoitP∈K^{[X], eta}une racine deP.

On appelleordre de multiplicitédeale plus grand entier non nulntel que (X−a)ⁿdivise le polynôme P. Sin=1, on dit queaest uneracine simpledeP, et sin=2, on dit queaest uneracine doublede P.

Remarque : Ainsiaest une racine deP d’ordre de multipliciténssi (X−a)ⁿdivisePet (X−a)ⁿ⁺¹ne divise pas P. L’ordre de multiplicité est donc inférieur ou égal au degré du polynôme.

Propriété 8 :

a est racine d’ordre de multiplicité n de P si et seulement s’il existe un polynôme Q tel que P=(X−a)ⁿQ et Q(a)6=0.

Démonstration : Pour la CN, on raisonne par l’absurde en utilisant la propriété 5. Pour la contraposée, l’absurde fonctionne encore, en divisant par (x−a)ⁿ, et en prenant garde au fait quex6=a.

Exemple 5 : Racines deP=X⁴−X³−7X²+13X−6 avec leurs ordres de multiplicité.

Une caractérisation simple de l’ordre de multiplicité repose sur les polynômes dérivés : Théorème 1 :

Soit P∈K^[X].

a est racine d’ordre de multiplicité n de P ssi pour tout k∈££

0,n−1¤¤

, P^(k)(a)=0et P⁽ⁿ⁾(a)6=0.

Démonstration : À l’aide de la formule de Taylor essentiellement, autant dire qu’on admet le résultat.

Remarque : SiP(a)=P⁰(a)=. . .=P⁽ⁿ⁻¹⁾(a)=0, alorsaest racine deP d’ordre de multiplicité au moinsn.

Exemple 6 : Montrer que pour toutn≥1, le polynômePn=nXⁿ⁺²−(n+2)Xⁿ⁺¹+(n+2)X−nest divisible par (X−1)³.

Un élan de factorisation incontrôlé nous amènerait à prouver que Pn = (X −1) Ã

nXⁿ⁺¹−2

n

X

k=1

X^k+n

!

= (X−1)²

Xn k=0

(2k−n)X^k=(X−1)³

n−1X

k=0

(n−k)(k+1)X^koùQ=

n−1X

k=0

(n−k)(k+1)X^kvérifieQ(1)=n(n+1)(n+2) 6 , ce qui prouve que 1 est racine triple dePn.

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BCPST Polynômes 3^o) Décomposition d’un polynôme

L’ensembleCpossède une propriété fondamentale permettant de décomposer tout polynôme : Théorème 2 :

Tout polynôme deC^[X]se décompose en un produit de facteurs du premier degré.

Démonstration : Admis.

Remarque : SiPadmet des racines multiples, certains facteurs de la décomposition peuvent être répétés plusieurs fois, ce qui permet de les regrouper : tout polynôme de degrénadmet exactementnracines complexes, comp- tées avec leur ordre de multiplicité. Ceci revient à dire également que tout polynômeP ∈C^{[X] de degrénpeut} s’écrire sous la forme P=a(X−x1) . . . (X−xn) , lesxin’étant pas nécessairement deux à deux distincts, ou encore

P=a(X−α1)ⁿ¹. . . (X−αp)^np avecn1, . . .,npdes entiers non nuls tels quen1+n2+. . .+np=n.

Exemple 7 : DécomposerP=X⁴−(1+i)X³+(3+i)X²+(5−3i)X−5i.

Un polynôme à coefficients réels appartient aussi àC^[X], il se décompose donc dansC, et la propriété suivante permet de regrouper les racines complexes :

Propriété 9 : Soit P∈R^[X].

Si a∈Cest une racine de P , alors a est racine de P .

Démonstration : Cela s’écrit simplement en prenant le conjugué du polynôme.

Exemple 8 : On examine le cas du polynômeQexhibé dans l’exemple précédent.

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