Exercices sur les polynômes

(1)

Polynômes

L’anneau des polynômes

Exercice 1 [ 02127 ][correction]

Résoudre les équations suivantes : a)Q²=XP² d’inconnuesP, Q∈K[X]

b)P◦P =P d’inconnueP ∈K[X].

Trouver lesP ∈R[X] tels queP(X²) = (X²+ 1)P(X).

a) Pourn∈N, développer le polynôme

(1 +X)(1 +X²)(1 +X⁴). . .(1 +X²ⁿ)

b) En déduire que tout entierp >0 s’écrit de façon unique comme somme de puissance de 2 : 1,2,4,8, . . .

Soit (Pn)_n∈N^? la suite de polynômes définie par

P1=X−2 et∀n∈N^?, Pn+1=P_n²−2 Calculer le coefficient deX² dansPn.

Polynômes réels

SoitP ∈R[X]. Montrer qu’il y a équivalence entre (i)∀x∈R, P(x)>0 ;

(ii)∃(A, B)∈R[X]², P =A²+B².

Polynômes complexes

SoitP∈C[X] non constant et tel queP(0) = 1. Montrer que :

∀ε >0,∃z∈C,|z|< εet |P(z)|<1

SoitP=a0+a1X+· · ·+anXⁿ∈C[X]. On pose M = sup

|z|=1

|P(z)|

Montrer

∀k∈ {0, . . . , n},|ak|6M (indice : employer des racines de l’unité)

Soit

P(X) =Xⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a1X+a0∈C[X]

Montrer que siξest racine deP alors

|ξ|61 + max

06k6n−1|ak|

SoitP∈C[X] un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles. Montrer que le polynômeP+ ¯P est scindé dansR[X].

Polynômes réels scindés

SoitP∈R[X] scindé de degré>2 ; on veut montrer que le polynômeP⁰ est lui aussi scindé.

a) Enoncer le théorème de Rolle.

b) Six₀ est racine deP de multiplicitém>1, quelle en est la multiplicité dans P⁰?

c) Prouver le résultat énoncé.

(2)

a) Soitf :R→Rune fonction dérivable. On suppose quef s’annule au moinsn fois. Montrer quef⁰ s’annule au moinsn−1 fois.

b) SoitP ∈R[X] un polynôme scindé à racines simples avecn= degP >2.

Montrer que le polynômeP⁰ est lui aussi scindé.

c) Montrer que le résultat perdure même si les racines deP ne sont pas simples.

SoitP un polynôme de degré n+ 1∈N^?à coefficients réels possédant n+ 1 racines réelles distinctes.

a) Montrer que son polynôme dérivéP⁰ possède exactementnracines réelles distinctes.

b) En déduire que les racines du polynômeP²+ 1 sont toutes simples dansC. Exercice 13 [ 02163 ][correction]

SoitP ∈R[X] un polynôme scindé de degré supérieur à 2.

Montrer queP⁰ est scindé.

a) SiP ∈R[X] est scindé surR, montrer queP⁰ est scindé ou constant surR. b) Si (a, b, c)∈R³, montrer queX¹⁰+aX⁹+bX⁸+cX⁷+X+ 1 n’est pas scindé surR.

SoitP ∈R[X] scindé à racines simples dansR. Montrer que pour toutα∈R^? les racines deP²+α² dansCsont toutes simples.

SoitP ∈R[X] scindé surR. Montrer que pour tout réelα, le polynômeP⁰+αP est lui aussi scindé surR.

SoitP ∈R[X] simplement scindé surR. Montrer queP ne peut avoir deux coefficients consécutifs nuls.

SoitP ∈R[X] scindé à racines simples.

Montrer qu’aucun coefficient nul deP ne peut être encadré par deux coefficients non nuls et de même signe.

Dérivation

Résoudre les équations suivantes : a)P⁰²= 4P d’inconnueP ∈K[X]

b) (X²+ 1)P⁰⁰−6P= 0 d’inconnue P ∈K[X].

Montrer que pour tout entier natureln, il existe un unique polynômeP_n ∈R[X] tel que

P_n−P_n⁰ =Xⁿ

Exprimer les coefficients deP_n à l’aide de nombres factoriels.

Déterminer dansK[X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.

SoitP∈K[X]. Montrer

P(X+ 1) =

+∞

X

n=0

1

n!P⁽ⁿ⁾(X)

Trouver tous les polynômesP ∈R[X] tels que

∀k∈Z, Z k+1

k

P(t) dt=k+ 1

SoitP∈R[X]. On suppose quea∈Rvérifie

P(a)>0 et∀k∈N^?, P^(k)(a)>0

Montrer que le polynômeP ne possède pas de racines dans [a,+∞[.

(3)

Division euclidienne

Soit (a, b)∈K²tel que a6=betP ∈K[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne deP par (X−a)(X−b) en fonction deP(a) etP(b).

Soienta∈KetP ∈K[X].

Exprimer le reste de la division euclidienne deP par (X−a)² en fonction de P(a) etP⁰(a).

Soientt∈Retn∈N^?.

Déterminer le reste de la division euclidienne dansR[X] de (Xcost+ sint)ⁿ par X²+ 1.

Soitk, n∈N^?et rle reste de la division euclidienne dekparn.

Montrer que le reste de la division euclidienne deX^k parXⁿ−1 estX^r.

Soientn, m∈N^?.

a) De la division euclidienne denparm, déduire celle deXⁿ−1 parX^m−1.

b) Etablir que

pgcd(Xⁿ−1, X^m−1) =X^pgcd(n,m)−1

Divisibilité

Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant : a)X−1 | X³−2X²+ 3X−2 b)X−2 | X³−3X²+ 3X−2 c)

X+ 1 | X³+ 3X²−2.

En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ, µ)∈K² pour queX²+ 2 diviseX⁴+X³+λX²+µX+ 2.

SoitP∈K[X].

a) Montrer queP(X)−X diviseP(P(X))−P(X).

b) En déduire queP(X)−X diviseP(P(X))−X.

c) On noteP^[n]=P◦. . .◦P (composition àn>1 facteurs).

Etablir queP(X)−X diviseP^[n](X)−X

SoitP∈K[X]. Montrer queP(X)−X diviseP(P(X))−X.

Montrer que pour touta, b∈N

a|b⇔X^a−1|X^b−1

Arithmétique

SoitA, B∈K[X] tels queA²|B². Montrer queA|B.

SoitA, B∈K[X] non constants et premiers entre eux.

Montrer qu’il existe un unique couple (U, V)∈K[X]² tel que AU+BV = 1 et

(degU <degB degV <degA

Soit (A, B)∈ K [X]² non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

(i)AetB ne sont pas premiers entre eux.

(ii) il existe (U, V)∈( K [X]− {0})² tel que

AU +BV = 0, degU <degB et degV <degA

(4)

SoitA, B∈K[X] non nuls.

Montrer :AetB sont premiers entre eux si, et seulement si,A+B etABle sont.

SoientA, B, C ∈K[X] tels queAet B soient premiers entre eux.

Montrer

pgcd(A, BC) = pgcd(A, C)

On cherche les polynômes

P(X) = (X−a)(X−b)∈C[X] tels queP(X) diviseP(X³).

Montrer que, sia=b, P∈R[X] et que sia6=bet a³6=b³, il existe 6 polynômes dont 4 dansR[X].

Trouver les polynômesP sia6=b eta³=b³ et en déduire que 13 polynômes en tout conviennent, dont 7 dansR[X].

Racines

a) Soit

P =anXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+...+a₁X+a₀ un polynôme à coefficients entiers tel quean6= 0 eta06= 0.

On suppose queP admet une racine rationneller=p/qexprimée sous forme irréductible.

Montrer quep|a0 etq|an. b) Factoriser

P = 2X³−X²−13X+ 5 c) Le polynôme

P=X³+ 3X−1 est-il irréductible dansQ[X] ?

Soienta, b, ctrois éléments, non nuls et distincts, du corpsK. Démontrer que le polynôme

P = X(X−b)(X−c)

a(a−b)(a−c) +X(X−c)(X−a)

b(b−c)(b−a) +X(X−a)(X−b) c(c−a)(c−b) peut s’écrire sous la formeP =λ(X−a)(X−b)(X−c) + 1 oùλest une constante que l’on déterminera.

a) Soitn∈N. Exprimer sin ((2n+ 1)α) en fonction de sinαet cosα.

b) En déduire que les racines du polynôme : P(X) =

n

X

p=0

(−1)^p 2n+ 1 2p+ 1

! X^n−p

sont de la formex_k= cot²β_k. Déterminer lesβ_k. Exercice 44 [ 02663 ][correction]

a) Montrer quea= cos(π/9) est racine d’un polynôme de degré trois à coefficients dansZ.

b) Justifier que le nombreaest irrationnel.

SoientA, B∈C[X] non constants vérifiant

{z∈C/A(z) = 0}={z∈C/B(z) = 0} et {z∈C/A(z) = 1}={z∈C/B(z) = 1}

Montrer queA=B.

SoientKun corps eta1, a2, . . . , an∈Kdeux à deux distincts.

a) Calculer

n

X

i=1

Y

j6=i

X−a_j ai−aj

b) On poseA(X) =

n

Q

j=1

(X−aj). Calculer

n

X

i=1

1 A⁰(a_i)

(5)

Racines et arithmétique

Soientpetqdeux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.

Montrer

(X^p−1)(X^q−1)|(X−1)(X^pq−1)

Justifier les divisibilités suivantes : a)∀n∈N,X²|(X+ 1)ⁿ−nX−1

b)∀n∈N^?, (X−1)³|nXⁿ⁺²−(n+ 2).Xⁿ⁺¹+ (n+ 2)X−n

Montrer qu’il existe un unique polynômeP de degré inférieur ou égal à 3 tel que : (X−1)²|P−1 et (X+ 1)²|P+ 1

Déterminer celui-ci.

Justifier

∀(n, p, q)∈N³, 1 +X+X²|X³ⁿ+X^3p+1+X^3q+2

Déterminer une condition nécessaire et suffisante surn∈Npour que X²+X+ 1|X²ⁿ+Xⁿ+ 1

Déterminer lesP deR[X] tels que

(X+ 4)P(X) =XP(X+ 1)

Trouver lesP ∈C[X] tels que

P(1) = 1,P(2) = 2,P⁰(1) = 3,P⁰(2) = 4,P⁰⁰(1) = 5 etP⁰⁰(2) = 6

[Equation de Fermat polynomiale]

a) SoientP, Q, R∈C[X] premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels que

P+Q+R= 0

Soientp, q, rle nombre de racines distinctes des polynômesP, Q, R respectivement.

Prouver que le degré deP est strictement inférieur àp+q+r.

(indice : introduiteP⁰Q−Q⁰P)

b) Trouver tous les triplets de polynômes complexes (P, Q, R) tels que Pⁿ+Qⁿ=Rⁿ

pourn>3 donné.

c) Le résultat s’étend-il àn= 2 ?

Racines et équations polynomiales

SoitP∈C[X] un polynôme non nul tel que

P(X²) +P(X)P(X+ 1) = 0 a) Montrer que siaest racine deP alorsa²l’est aussi b) En déduire quea= 0 ou bien aest racine de l’unité.

Montrer que siP ∈R[X]\ {0} vérifie

P(X²) =P(X)P(X+ 1)

ses racines sont parmi 0,1,−j,−j². En déduire tous les polynômes solutions.

Trouver lesP∈C[X] vérifiant

P(X²) =P(X)P(X+ 1)

(6)

On cherche les polynômesP non nuls tels que P(X²) =P(X−1)P(X) a) Montrer que toute racine d’un telP est de module 1.

b) Déterminer les polynômesP. Exercice 59 [ 02672 ][correction]

Déterminer les polynômesP deR[X]\ {0}vérifiant P(X²) =P(X−1)P(X) Exercice 60 [ 01329 ][correction]

Trouver lesP ∈C[X] vérifiant

P(X²) =P(X)P(X−1)

Factorisation

Factoriser dansC[X] puis dansR[X] les polynômes suivants : a)X⁴−1 b)X⁵−1 c) (X²−X+ 1)²+ 1.

Factoriser dansR[X] les polynômes suivants :

a)X⁴+X²+ 1 b)X⁴+X²−6 c) X⁸+X⁴+ 1.

Factoriser le polynôme (X+i)ⁿ−(X−i)ⁿ pourn∈N^?. Exercice 64 [ 02174 ][correction]

Former la décomposition primaire dansR[X] deP =X²ⁿ⁺¹−1 (avecn∈N).

Soienta∈]0, π[ etn∈N^?. Factoriser dans C[X] puis dansR[X] le polynôme X²ⁿ−2 cos(na)Xⁿ+ 1

Relations entre coefficients et racines d’un poly- nôme scindé

Trouver les racines dansCdu polynômeX⁴+ 12X−5 sachant qu’il possède deux racines dont la somme est 2.

Donner une condition nécessaire et suffisante surλ∈Cpour queX³−7X+λ admette une racine qui soit le double d’une autre. Résoudre alors l’équation.

Résoudrex³−8x²+ 23x−28 = 0 sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.

On considère l’équation :x³−(2 +√

2)x²+ 2(√

2 + 1)x−2√

2 = 0 de racines x1, x2 etx3.

a) Former une équation dontx²₁, x²₂ etx²₃seraient racines.

b) En déduire les valeurs dex1, x2, x3.

Déterminer les triplets (x, y, z)∈C³ tels que

a)







x+y+z= 1 1/x+ 1/y+ 1/z= 1 xyz =−4

b)







x(y+z) = 1 y(z+x) = 1 z(x+y) = 1

c)







x+y+z= 2 x²+y²+z²= 14 x³+y³+z³= 20

Soientx, y, z∈C^? tels que x+y+z= 0. Montrer 1

x²+ 1 y² + 1

z² = 1

x+1 y +1

z ²

(7)

Pourn∈N^? on pose P_n =

n

P

k=0

X^k.

a) Former la décomposition en facteurs premiers dePn dansC[X].

b) En déduire la valeur de

n

Q

k=1

sin_n+1^kπ .

Soita∈Retn∈N^?. Résoudre dansCl’équation (1 +z)ⁿ = cos(2na) +isin(2na) En déduire la valeur de

n−1

Y

k=0

sin

a+kπ n

SoitP ∈C[X] non nul etn= degP.

Montrer que les sommes des zéros deP, P⁰, . . . , P⁽ⁿ⁻¹⁾ sont en progression arithmétique.

SoitP =X³+aX²+bX+c un polynôme complexe de racinesα, β, γ. Calculer α

β+γ + β

γ+α+ γ α+β

x, y, zdésignent trois complexes vérifiant x+y+z= 0 Etablir

x⁵+y⁵+z⁵

5 =

x²+y²+z² 2

x³+y³+z³ 3

Résoudre dansC³le système







x²+y²+z²= 0 x⁴+y⁴+z⁴= 0 x⁵+y⁵+z⁵= 0

On considère le polynôme

P(X) =a₀Xⁿ+a₁Xⁿ⁻¹+· · ·+a_n ∈C[X] de racinesx₁, . . . , x_n comptées avec multiplicité.

Pour toutp∈N, on pose

Sp=x^p₁+· · ·+x^p_n Etablir











a₀S₁+a₁= 0

a0S2+a1S1+ 2a2= 0 . . .

a0Sp+a1Sp−1+· · ·+ap−1S1+pap= 0 (0< p6n) . . .

a₀S_n+a₁S_n+1+· · ·+a_nS₁= 0 . . .

a₀S_n+k+a₁S_n+k−1+· · ·+a_nS_k = 0 (k >0)

a) Déterminer trois élémentsa, b, cdeC, non tous réels, tels quea+b+c, a²+b²+c²et a³+b³+c³ soient trois réels.

b) Montrer que, sia, b, csont trois éléments deCde modules différents et si a+b+c∈R,a²+b²+c²∈Reta³+b³+c³∈R, alorsa,bet csont trois réels.

Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Familles de polynômes classiques

Polynômes de Tchebychev (1821-1894) :

(8)

Soitn∈N. On posefn: [−1,1]→Rl’application définie par f_n(x) = cos(narccosx)

a) Calculerf0,f1, f2 et f3.

b) Exprimerfn+1(x) +fn−1(x) en fonction de fn(x).

c) Etablir qu’il existe un unique polynômeTn deR[X] dont la fonction polynomiale associée coïncide avecfn sur [−1,1].

d) Donner le degré deTn ainsi que son coefficient dominant.

e) Observer queT_n possède exactement nracines distinctes, que l’on exprimera, toutes dans ]−1,1[.

Polynômes d’interpolation de Lagrange (1736-1813) :

Soit (a0, a1, . . . , an) une famille d’éléments deKdeux à deux distincts.

Pour touti∈ {0,1, . . . , n} on pose

Li= Q

06j6n,j6=i

(X−aj) Q

06j6n,j6=i

(ai−aj)

a) Observer que, pour toutj∈ {0,1, ..., n}, on aLi(aj) =δi,j

(oùδi,j est le symbole de Kronecker (1823-1891) qui est égal à 1 lorsquei=j et 0 sinon).

b) Montrer que

∀P ∈Kn[X] ,P(X) =

n

X

i=0

P(ai)Li(X)

Polynômes de Legendre (1752-1833) : Pour tout entier naturelnon pose

Ln = n!

(2n)! (X²−1)ⁿ⁽ⁿ⁾ a) Montrer queLn est un polynôme unitaire de degrén.

b) Montrer que

∀Q∈Rn−1[X] , Z 1

−1

L_n(t)Q(t) dt= 0 c) En déduire queLn possèdenracines simples toutes dans ]−1,1[.

Soit (Pn)n>0la suite de K[X] définie par

P0= 0, P1= 1 et∀n∈N, Pn+2=XPn+1−Pn

a) Montrer

∀n∈N, P_n+1² = 1 +PnPn+2

b) En déduire

∀n∈N, Pn etPn+1 sont premiers entre eux c) Etablir pour que pour toutm∈Net pour toutn∈N^? on a

Pm+n =PnPm+1−P_n−1Pm

d) Montrer que pour toutm∈Net pour toutn∈N^? on a pgcd(P_m+n, P_n) = pgcd(P_n, P_m)

En déduire que pgcd(Pm, Pn) = pgcd(Pn, Pr) oùrest le reste de la division euclidienne demparn.

e) Conclure

pgcd(P_n, P_m) =P_pgcd(m,n)

Polynômes de Laguerre (1834-1886) : Pourn∈N, on définit Ln:R→Rpar

L_n(x) = e^x dⁿ

dxⁿ( e^−xxⁿ)

Observer queLn est une fonction polynomiale dont on déterminera le degré et le coefficient dominant.

Soitn∈N. Montrer qu’il existe un unique polynômeP ∈C[X] tel que P(cosθ) = cosnθpour toutθréel. On le noteTn.

a) LierT_n−1, T_n etT_n+1.

b) Donner une équation différentielle vérifiée parT_n. c) CalculerTn^(k)(1) etTn^(k)(−1).

(9)

Quels sont les couples (P, Q)∈R[X]² vérifiantP²+ (1−X²)Q²= 1 ?

On définit une suite de polynôme (Pn) par

P₀= 2, P₁=X et∀n∈N, P_n+2=XP_n+1−P_n a) CalculerP₂ etP₃.

Déterminer degré et coefficient dominant deP_n.

b) Montrer que, pour toutn∈Net pour toutz∈C^? on a Pn(z+ 1/z) =zⁿ+ 1/zⁿ

c) En déduire une expression simple dePn(2 cosθ) pourθ∈R. d) Déterminer les racines dePn.

On pose

f(x) = 1 cosx

Démontrer l’existence d’un polynômePn de degrénet à coefficients positifs ou nul vérifiant

∀n>1, f⁽ⁿ⁾(x) = Pn(sinx) (cosx)ⁿ⁺¹ PréciserP₁, P₂, P₃ et calculerP_n(1).

(10)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

a) Si (P, Q) est un couple solution de polynômes non nuls alorsQ²=XP² donne 2 degQ= 1 + 2 degP avec degP,degQ∈Nce qui est impossible. Il reste le cas où l’un des polynômesP ouQest nul et l’autre, alors, l’est aussi. Inversement, le couple nul est effectivement solution.

b) Si degP>2 alors degP◦P = (degP)²>degP et doncP n’est pas solution.

Si degP61 alors on peut écrireP =aX+bet alors P◦P =P ⇔a(aX+b) +b=aX+b⇔

(a²=a ab= 0 Après résolution on obtient

(a= 1etb= 0) ou (a= 0 etbquelconque)

Finalement les solutions sont le polynômeX et les polynômes constants.

Parmi les polynômes constants, seuls le polynôme nul est solution.

Si degP>1 alors, pour vérifier l’équation, il est nécessaire que degP = 2. On peut alors écrireP sous la formeaX²+bX+c. Parmi, les polynômes de cette forme, ceux solutions sont ceux obtenus pourb= 0 etc=−a. Conclusion, les polynômes solutions sont lesa(X²−1) aveca∈R.

a) Posons

P(X) = (1 +X)(1 +X²)(1 +X⁴). . .(1 +X²ⁿ) En exploitant successivement (a−b)(a+b) =a²−b², on obtient

(1−X)P(X) = 1−X²ⁿ⁺¹ On en déduit

P(X) = 1−X²ⁿ⁺¹

1−X = 1 +X+X²+· · ·+X²ⁿ⁺¹⁻¹

b) Lorsqu’on développe directement le polynômeP, le coefficient deX^k obtenu correspond au nombre de fois qu’il est possible d’écrirekcomme la somme des puissances de 2 suivantes : 1,2,4, . . . ,2ⁿ. Ce nombre vaut 1 compte tenu de l’exercice précédent.

Notonsan, bn et cn les coefficients de 1, X et X² dansPn. PuisqueP1=X−2, on aa1=−2,b1= 1 etc1= 0.

PuisquePn+1=P_n²−2, on aan+1=a²_n−2,bn+1= 2anbn et cn+1=b²_n+ 2ancn. On en déduita2= 2,b2=−4 etc2= 1 puis pourn>3 :an= 2,bn=−4ⁿ⁻¹,

c_n= 4ⁿ⁻²+ 4ⁿ⁻¹+· · ·+ 4²ⁿ⁻⁴= 4ⁿ⁻²4ⁿ⁻¹−1 3

L’implication (ii)⇒(i) est immédiate.

Supposons (i).

PuisqueP est de signe constant, la décomposition en facteurs irréductibles deP s’écrit avec des facteurs de la forme

(X−λ)²= (X−λ)²+ 0² et

X²+ 2pX+q= (X+p/2)²+p

q²−4p²

AinsiP est, à un facteur multiplicatif positif près, le produit de polynômes s’écrivant comme la somme des carrés de deux polynômes réels.

Or

(A²+B²)(C²+D²) = (AC−BD)²+ (AD+BC)² doncP peut s’écrire comme la somme des carrés de deux polynômes réels

Puisque le polynômeP est non constant, on peut écrire P(z) = 1 +aqz^q+z^q+1Q(z) avecaq6= 0 etQ∈C[X].

Posonsθun argument du complexeaq et considérons la suite (zn) de terme général

zn= 1

ne^i(π−θ)/q On azn→0 et

P(zn) = 1−|aq| n^q +o

1 n^q

donc|P(zn)|<1 pournassez grand.

(11)

Soitω= e^2iπ/(n+1)une racine nème de l’unité. On a

P(1) +P(ω) +· · ·+P(ωⁿ) = (n+ 1)a₀

car n

X

k=0

ω^k`=

n+ 1 si`= 0 [n+ 1]

0 sinon

On en déduit (n+ 1)|a₀|6(n+ 1)M puis|a₀|6M. De façon plus générale, on a

P(1) +ω^−kP(ω) +· · ·+ω^−nkP(ωⁿ) = (n+ 1)ak

et on en déduit|ak|6M.

La propriété est immédiate si|ξ|61. On suppose désormais|ξ|>1 et on note m= max

06k6n−1|ak| L’égalité

−ξⁿ=a_n−1ξⁿ⁻¹+· · ·+a1ξ+a0

donne

|ξ|ⁿ6

n−1

X

k=0

|ak| |ξ|^k6m

n−1

X

k=0

|ξ|^k donc

|ξ|ⁿ6m|ξ|ⁿ−1

|ξ| −1 6m |ξ|ⁿ

|ξ| −1 puis

|ξ|61 +m

On peut écrireP sous forme factorisée P(X) =λ

n

Y

k=1

(X−zk) avecn= degP ∈N^?et zk∈Cvérifiant Imzk>0.

Un complexezest racine du polynômeP+ ¯P si, et seulement si, λ

n

Y

k=1

(z−zk) =−¯λ

n

Y

k=1

(z−zk) Si Imz >0 alors

∀k∈ {1, . . . , n},|z−zk|<|z−zk| et donc

λ

n

Y

k=1

(z−z_k)

<¯λ

n

Y

k=1

(z−z_k)

Ainsizne peut être racine deP+ ¯P et ¯z non plus par le même raisonnement ou parce queP+ ¯P est un polynôme réel.

On en déduit que les racines deP sont toutes réelles et doncP est scindé dans R[X].

Ainsi le polynôme ReP est scindé dansR[X] et, par une argumentation analogue, il en est de même de ImP.

a) Sif : [a, b]→R(aveca < b) est continue, dérivable sur ]a, b[ et sif(a) =f(b) alors il existec∈]a, b[ tel quef⁰(c) = 0.

b) Six₀est racine de multiplicité mdeP alorsx₀ est racine de multiplicitém−1 deP⁰ (en convenant qu’une racine de multiplicité 0 n’est en fait pas racine).

c) Notonsx₁< . . . < x_ples racines deP etm₁, . . . , m_p leurs multiplicités respectives. Puisque le polynômeP est supposé scindé, on a

m1+· · ·+mp= degP

Les élémentsx1, . . . , xp sont racines de multiplicitésm1−1, . . . , mp−1 deP⁰. En appliquant le théorème de Rolle àP entrexk etxk+1, on détermine yk ∈]xk, xk+1[ racine deP⁰. Cesyk sont distincts entre eux et distincts des x1, . . . , xp. On a ainsi obtenu au moins

(p−1) + (m₁−1) +· · ·+ (m_p−1) = degP−1 racines deP⁰. Or degP⁰= degP−1 doncP⁰ est scindé.

a) Soienta₁< . . . < a_n les zéros def. En appliquant le théorème Rolle sur chaque intervalle [a_i, a_i+1], on obtient b_i∈]a_i, a_i+1[ annulantf⁰. Puisque

a1< b1< a2<· · ·< b_n−1< an

(12)

lesb1, . . . , b_n−1 sont des annulations distinctes def⁰.

b) SiP est scindé à racines simples, il possèdenracines. Le polynômeP⁰ possède alors au moinsn−1 racines. Or degP⁰=n−1 donc le polynômeP⁰ est scindé.

c) Soienta1< . . . < ap les racines deP etα1, . . . , αp leurs multiplicités avec α1+· · ·+αp=n

Lesa₁< . . . < a_p sont racines deP⁰ de multiplicités respectives α1−1, . . . , αp−1

Comme ci-dessus, par Rolle, on peut aussi assurer l’existence dep−1 autres racines àP⁰.

La somme des multiplicités des racines est donc au moins égales à

p

X

i=1

αi−1 +p−1 =n−1 = degP⁰ et donc le polynômeP⁰ est scindé.

a) Notonsa₀< a₁< . . . < a_n les racines deP.

En appliquant le théorème de Rolle à la fonctionx7→P(x) sur l’intervalle

[a_i−1, ai], on justifie l’existence d’un réelbi∈]a_i−1, ai[ tels queP⁰(bi) = 0. Puisque a₀< b₁< a₁< b₂< . . . < b_n < a_n

les réelsb1, . . . , bn sont deux à deux distincts ce qui fournitnracines réelles au polynômeP⁰.

Puisque degP⁰= degP−1 =n, il ne peut y en avoir d’autres.

b) Une racine multiple deP²+ 1 est aussi racine du polynôme dérivé (P²+ 1)⁰ = 2P P⁰

Or les racines deP ne sont pas racines deP²+ 1 et les racines deP⁰ sont réelles et ne peuvent donc être racines deP²+ 1. Par suiteP²+ 1 et (P²+ 1)⁰ n’ont aucunes racines communes : les racines deP²+ 1 sont simples.

Posonsn= degP >2,a₁< a₂< . . . < a_p les racines réelles distinctes deP et α₁, α₂, ..., αp leurs ordres respectifs. On aα₁+α₂+· · ·+αp=ncarP est supposé scindé.

En appliquant le théorème de Rolle àx7→P˜(x) sur chaque [ai, ai+1] on justifie l’existence de racines distinctesb1, b2, . . . , bp−1 disposée de sorte que

a1< b1< a2< b2< . . . < bp−1< ap.

Comme lesa1, a2, . . . , ap sont des racines d’ordresα1−1, α2−1, . . . , αp−1 deP⁰ et queb1, b2, . . . , bp−1 sont des racines au moins simples deP⁰, on vient de déterminer (n−1) = degP⁰ racines deP⁰ comptées avec leur multiplicité.

FinalementP⁰ est scindé.

a) SiP est degré 1 alorsP⁰ est constant. SiP est de degré n>2, par application du théorème de Rolle, il figure une racine deP⁰ entre deux racines consécutives de P. De surcroît, siaest racine de multiplicitéα∈N^? deP, aest aussi racine de multiplicitéα−1 deP⁰. Par suite,P⁰ en admetn−1 racines comptées avec multiplicité et est donc scindé.

b) 0 est racine multiple du polynôme dérivé à l’ordre 2. Si le polynôme était scindé, l’étude qui précède permet d’observer que 0 est racine du polynôme. Ce n’est pas le cas.

Notons que par application du théorème de Rolle, les racines deP⁰ sont réelles (et simples)

Les racines multiples deP²+α² sont aussi racines de (P²+α²)⁰= 2P P⁰.

Or les racines deP²+α² ne peuvent être réelles et les racines deP P⁰ sont toutes réelles.

Il n’y a donc pas de racines multiples au polynômeP²+α².

Rappelons qu’un polynôme est scindé sur un corps si, et seulement si, la somme des multiplicités des racines de ce polynôme sur ce corps égale son degré.

Notonsa₀< a₁< . . . < a_m les racines réelles deP etα₀, α₁, . . . , α_m leurs multiplicités respectives. Le polynômeP étant scindé, on peut écrire

degP =

m

X

k=0

αk

On convient de dire qu’une racine de multiplicité 0 n’est en fait pas racine d’un polynôme. Avec ses termes, siak est racine de multiplicitéαk>1 deP alorsak

(13)

est racine de multiplicitéαk−1 du polynômeP⁰ et donc racine de multiplicité au moins (et même exactement)αk−1 du polynômeP⁰+αP. Ainsi lesak fournissent

m

X

k=0

(α_k−1) = degP−(m+ 1) racines comptées avec multiplicité au polynômeP⁰+αP. Considérons ensuite la fonction réellef :x7→P(x)e^αx.

Cette fonction est indéfiniment dérivable et prend la valeur 0 en chaqueak. En appliquant le théorème de Rolle à celle-ci sur chaque intervalle [a_k−1, ak], on produit des réelsbk∈]ak−1, ak[ vérifiantf⁰(bk) = 0. Or

f⁰(x) = (P⁰(x) +αP(x)) e^αx et doncbk est racine du polynômeP⁰+αP.

Ajoutons à cela que lesbk sont deux à deux distincts et différents des précédents ak car, par construction

a0< b1< a1< b2< . . . < bm< am

On vient donc de déterminermnouvelles racines au polynômeP⁰+αP et ce dernier possède donc au moins

degP−1 racines comptées avec multiplicité.

Dans le casα= 0, cela suffit pour conclure car degP⁰ = degP−1.

Dans le casα6= 0, il nous faut encore une racine. . .

Siα >0, la fonctionf tend vers 0 en−∞par argument de croissance comparée.

On peut alors appliquer un théorème de Rolle généralisé à la fonctionf sur l’intervalle ]−∞, a₀] et cela fournit la racine manquante.

Siα <0, on exploite comme au dessus la nullité de la limite def en +∞cette fois pour trouver une racine dans l’intervalle ]am,+∞[.

Remarquons que puisqueP est simplement scindé surR, l’application du théorème de Rolle entre deux racines consécutives deP donne une annulation de P⁰ et permet de justifier queP⁰ est simplement scindé surR. Il est en de même de P⁰⁰, P⁰⁰⁰, . . .

Or, si le polynômeP admet deux coefficients consécutifs nuls alors l’un de ses polynômes dérivées admet 0 pour racine double. C’est impossible en vertu de la remarque qui précède.

Ecrivons

P(X) =

+∞

X

n=0

anXⁿ

et, quitte à considérer−P, supposons par l’absurde qu’il existep>1 tel que ap= 0 avecap−1, ap+1>0

Considérons alors

Q(X) =P^(p−1)(X) = (p−1)!a_p−1+(p+ 1)!

2 ap+1X²+· · ·

Puisque le polynômeP est scindé à racines simples, par application du théorème de Rolle, les racinesP^(k+1)sont séparées par les racines des P^(k). En particulier les racines deQ⁰ sont séparées par les racines deQ.

Or 0 est minimum local deQavecQ(0)>0.

Si le polynômeQadmet des racines strictement positives et siaest la plus petite de celles-ci alorsQ⁰ admet une racine dans ]0, a[ par application du théorème des valeurs intermédiaires et du théorème de Rolle. Or 0 est aussi racine deQ⁰ et donc les racines deQ⁰ ne sont pas séparées par les racines deQ. C’est absurde.

Il en est de même si la polynôme admet des racines strictement négatives.

a) Parmi les polynômes constants, seul le polynôme nul est solution.

Parmi les polynômes non constants, siP est solution alors 2(degP−1) = degP et donc degP = 2. On peut alors écrireP =aX²+bX+c aveca6= 0.

P⁰²= 4P ⇔4a²X²+ 4abX+b²= 4aX²+ 4bX+ 4c⇔

(a= 1 c=b²/4 Les solutions de l’équation sontP = 0 etP =X²+bX+b²/4 avecb∈K. b) Parmi les polynôme de degré inférieur à 1, seul le polynôme nul est solution.

PourP polynôme tel que degP >2 alors la relation (X²+ 1)P⁰⁰−6P = 0 implique, en raisonnant sur l’annulation des coefficients dominants, degP(degP−1) = 6 donc degP = 3.

En cherchantP sous la formeP =aX³+bX²+cX+daveca∈K^?, on obtient que seuls les polynômesP =a(X³+X) aveca∈K^? sont solutions.

Finalement les polynômes solutions sont lesa(X³+X) aveca∈K.

Les polynômes solutions dePn−P_n⁰ =Xⁿ sont nécessairement de degrén.

(14)

Cherchons ceux-ci de la forme :

P_n=a_nXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₁X+a₀ Pn−P_n⁰ =Xⁿ équivaut à

an= 1, a_n−1=nan, a_n−2= (n−1)a_n−1, . . . , a₀= 1.a₁

Par suite l’équationPn−P_n⁰ =Xⁿ possède une et une seule solution qui est : P=Xⁿ+nXⁿ⁻¹+n(n−1)Xⁿ⁻²+· · ·+n! =

n

X

k=0

n!

k!X^k

Parmi les polynômes constants, seul le polynôme nul est divisible par son polynôme dérivé.

SoitP un polynôme non constant et nson degré.

SiP⁰|P alors on peut écrirenP = (X−a)P⁰ aveca∈Kcar degP⁰ = degP−1.

En dérivantnP⁰ = (X−a)P⁰⁰+P⁰ donc (n−1)P⁰= (X−a)P⁰⁰. Ainsi de suite jusqu’àP⁽ⁿ⁻¹⁾= (X−a)P⁽ⁿ⁾.

Or, si on poseλle coefficient dominant deP, on aP⁽ⁿ⁾=n!λdonc en remontant les précédents calculs on obtientn!P =n!(X−a)ⁿλ. AinsiP =λ(X−a)ⁿ. Inversement, un tel polynôme est solution.

Finalement les solutions sont lesP =λ(X−a)ⁿ avecλ∈K.

Par la formule de Taylor

P(X) =

+∞

X

n=0

P⁽ⁿ⁾(0) n! Xⁿ donc

P(1) =

+∞

X

n=0

P⁽ⁿ⁾(0) n!

et plus généralement

P^(k)(1) =

+∞

X

n=0

P^(n+k)(0) n!

Par la formule de Taylor P(X+ 1) =

+∞

X

k=0

P^(k)(1) k! X^k =

+∞

X

k=0 +∞

X

n=0

1 k!

P^(n+k)(0) n! X^k

puis en permutant les sommes (qui se limitent à un nombre fini de termes non nuls)

P(X+ 1) =

+∞

X

n=0 +∞

X

k=0

1 k!

P^(n+k)(0) n! X^k=

+∞

X

n=0

1

n!P⁽ⁿ⁾(X) Autre méthode : On exploite les ingrédients suivants :

- l’application qui àP associe

+∞

P

n=0 1

n!P⁽ⁿ⁾(X) est linéaire ;

- par la formule du binôme, cette application envoie chaqueX^k sur (X+ 1)^k; - deux applications linéaires égales sur une base sont égales sur l’espace.

SoitP un polynôme etQun polynôme primitif deP.P est solution du problème posé si, et seulement si,

∀k∈Z, Q(k+ 1)−Q(k) =k+ 1

En raisonnant par coefficients inconnus, on observe queQ(X) = ¹₂X(X+ 1) est solution.

Si ˜Q(X) est aussi solution alors

∀k∈Z,(Q−Q)(k˜ + 1) = (Q−Q)(k)˜ et on en déduit que le polynômeQ−Q˜ est constant.

On en déduit que

P(X) =X+1 2 est l’unique solution du problème posé.

Par la formule de Taylor, on a pour toutx>0 P(a+x) =

degP

X

k=0

P^(k)(a)

k! x^k>P(a)>0