Universit´e Claude Bernard Lyon 1 M1 EADM
Ann´ee 2011-2012
UE2 - Probabilit´es
Examen du 6 janvier 2012 (premi`ere session) Dur´ee : 2h
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. La qualit´e de la r´edaction sera prise en compte dans la notation.
Questions de cours
1. Donner la d´efinition d’une mesure de probabilit´e P sur un espace Ω.
2. Donner la d´efinition de la densit´e f d’un couple de variables al´eatoires r´eelles (X, Y ).
3. ´Enoncer une loi des grands nombres en pr´ecisant bien les hypoth`eses.
4. ´Enoncer le th´eor`eme central limite.
5. On se donne une suite de variables al´eatoires (Xn) ind´ependantes et de mˆeme loi, de carr´e int´egrable. On suppose que E(Xk) = 0 et on note Xn = (X1 + · · · + Xn)/n. Donner, pour n grand, un intervalle auquel√
n Xn appartient avec une probabilit´e de 0.95.
6. Donner la d´efinition de la m´ediane et du premier quartile d’un ´echantillon num´erique (xk)1≤k≤45. Exercice 1. On fixe deux r´eels p ∈ [0, 1[ et λ > 0 et on se donne un couple (X, Y ) de variables al´eatoires discr`etes dont la loi est donn´ee par : pour tout couple d’entiers (k, n) ∈ N2
– si k ≤ n, alors
P(X = k, Y = n) = 1
k!(n − k)!pk(1 − p)n−ke−λλn, – et si k > n, alors P(X = k, Y = n) = 0.
1. V´erifier que l’on d´efinit bien ainsi la loi d’un couple al´eatoire discret.
2. D´eterminer les lois marginales de ce couple.
3. Pour tout entier n fix´e, d´eterminer la loi de X sachant {Y = n}.
4. D´eterminer ´egalement la loi de la variable al´eatoire Y − X.
5. Les variables al´eatoires X et Y sont-elles ind´ependantes ? Exercice 2. Soit X une variable al´eatoire de loi uniforme sur [0, 3].
1. Donner la densit´e de X.
2. Calculer l’esp´erance et la variance de X.
3. Calculer P(X = 1) et expliciter la fonction de r´epartition de la loi de X.
4. Expliciter la densit´e de Y = 3X − 2.
5. Expliciter la densit´e de Z = (X − 1)2.
Exercice 3. Soit f : R2 → R la fonction d´efinie pour tout (x, y) ∈ R2 par f (x, y) = c|xy|10≤x2+y2≤1.
1. D´eterminer la constante c pour que f soit la densit´e d’un probabilit´e sur R2. Dans la suite de l’exercice, on consid`ere un couple (X, Y ) de densit´e f .
2. D´eterminer l’ensemble-image (X, Y )(Ω)
3. D´eterminer les densit´es des lois marginales du couple (X, Y ).
4. Calculer E(X) et E(Y ).
5. Calculer la matrice de covariance de (X, Y )
6. Les variables al´eatoires X et Y sont-elles ind´ependantes ?
Tournez SVP
Exercice 4. On consid`ere l’´echantillon suivant constitu´e par les relev´es de temp´erature maximale journali`ere observ´ee en novembre 2011 `a la station m´et´eo de Saint-Genis-Laval.
date 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
temp max 19.0 18.1 19.9 15.3 15.7 13.6 13.5 12.0 14.8 12.0 15.1 17.0 15.6 12.0 11.4
date 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
temp max 8.5 10.9 12.0 10.4 13.9 14.6 12.3 9.3 5.7 6.5 7.7 6.6 7.6 15.1 13.2 1. D´eterminer le maximum, le minimum, l’´etendue, les quartiles et la m´ediane de cette s´erie.
2. Au choix :
– Tracer un histogramme en cr´eant 5 classes de mˆeme largeur entre le minimum et le maximum de l’´echantillon
– ou Tracer un box-plot (ou diagramme `a moustaches).
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