Première S2 Exercices sur le chapitre 8 : E5 et E6 et E7. 2007 2008
E5 Savoir dériver le produit k u.
Déterminons la fonction dérivée de chacune des fonctions définies sur . 1 ) f ( x ) = -2x3 f ' ( x ) = - 2 × 3x² = -6x² 2 ) g ( x ) = 2x² − x + 3 g ' ( x ) = 2 × 2x − 1 = 4x − 1 3 ) h ( x ) = x3 + 3
2 x² − 1 h ' ( x ) = 3x² + 3
2 × 2x = 3x² + 3x 4 ) i ( x ) = -x² + 3x − 1 i ' ( x ) = -2x + 3
5 ) j ( x ) = 1 4 x4 − 1
3 x3 j ' ( x ) = 1
4 × 4x3 − 1
3 × 3x² = x3 − x²
6 ) n ( x ) = - 3 x 2 3
+ 2
² x
3 + 4x − 1 n ' ( x ) = - 2
3 × 3x² + 3
2 × 2x + 4 = - 2x² + 3x + 4 E6 Savoir dériver un produit.
Calculons la dérivée de la fonction f sur si rien n'est précisé, sinon donner les ensembles de définition.
1 ) f ( x ) = x ( 3x − 1 ) f ' ( x ) = 1 ( 3x − 1 ) + 3 x = 3x − 1 + 3x = 6x − 1 2 ) f ( x ) = x² ( 3x + 4 ) f ' ( x ) = 2x ( 3x + 4 ) + 3 x² = 6x² + 8x + 3x² = 9x² + 8x
3 ) f ( x ) = ( x² + 3 ) ( x − 2 ) f ' ( x ) = 2x ( x − 2 ) + 1 ( x² + 3 ) = 2x² − 4x + x² + 3 = 3x² − 4x + 3 4 ) f ( x ) = ( 3x − 1 )3 f ' ( x ) = 3 × 3 × ( 3x − 1 )² = 9 ( 3x − 1 )²
5 ) f ( x ) = 3 ( 1 − 2x )4 f ' ( x ) = 3 × 4 × ( - 2 ) × ( 1 − 2x )3 = - 24 ( 1 − 2x )3 E7 Savoir dériver l'inverse d'une fonction.
Calculons f ' ( x ) et précisons l'ensemble de définition de f et de f '.
1 ) f ( x ) = 1
x f ' ( x ) = -
² x
1 D
f = Df ' = * 2 ) f ( x ) =
² x
1 f ' ( x ) = - 4
x x 2 = -
x3
2 D
f = Df ' = * 3 ) f ( x ) =
4 x 3
1+ f ' ( x ) = -
)² 4 x 3 (
3+ Df = Df ' = − { - 4 3 } 4 ) f ( x ) =
5 x 2
1+
− f ' ( x ) =
)² x 2 5 (
−2 Df = Df ' = − { 2,5 } 5 ) f ( x ) =
7 x 5
² x 3
1 +
+ f ' ( x ) = -
)² 7 x 5
² x 3 (
5 x
6+++ Df = Df ' = car le discriminant vaut 25 − 4 × 7 × 3 = 25 − 84 = - 59.
6 ) f ( x ) = 3 x 2
−1 f ' ( x ) = -
)² x 2 (
² x 6
−− 3 = 4 x 2
3 Df = Df ' = * 7 ) f ( x ) =
) 6 x 2 )(
5 x 3 (
1 +
− =
30 x 8
² x 6
1 −
+ et f ' ( x ) = -
)² 6 x 2 )²(
5 x 3 (
8 x
12 +
− + Df = Df ' = − { -3 ; 5 3 } 8 ) f ( x ) =
) 7 x 2 )(
3 x 5 (
1 +
+
− =
21 x 29
² x 10
1 +
−
− f ' ( x ) =
)² 7 x 2 )²(
3 x 5 (
29 x
20+ +
− + et Df = Df ' = − { -3,5 ; 3 5 }
