Ann´eeScolaire2017/2018 P.Ribi`ere ´Electrostatique.

Electrostatique. ´

P. Ribi`ere

Coll`ege Stanislas

Ann´ee Scolaire 2017/2018

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Des charges en mouvement cr´eent, en g´en´eral, un champ ´electromagn´etique (E(M,~ t), ~B(M,t)) qui s’´etudient `a l’aide des ´equations de Maxwell.

Mais dans le cas o`u les charges sont fixes, elles ne cr´eent qu’un champ ´electrique stationnaire et pas de champ magn´etique :´electrostatique.

Une exp´erience classique est celle d’un morceau de verre (+) ou d’epoxy (-) frott´e qui devient charg´e.

Coulomb et Cavendish donn`erent des interpr´etations de ces exp´eriences et propos`erent des exp´eriences quantitatives. (1780). Mais la formalisation date essentiellement du XIXeme si`ecle.

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Propri´et´es de la charge.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

Propri´et´es de la charge.

Loi de Coulomb, champ ´electrique.

Principe de superposition.

Analyse de carte de ligne de champ ´electrostatique.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Propri´et´es de la charge.

La charge ´electrique est un multiple de e.

La charge ´electrique se conserve.

La charge ´electrique est invariante par changement de r´ef´erentiel.

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Loi de Coulomb, champ ´electrique.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

Propri´et´es de la charge.

Loi de Coulomb, champ ´electrique.

Principe de superposition.

Analyse de carte de ligne de champ ´electrostatique.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Loi de Coulomb, champ ´electrique.

Le champ ´electrostatique caract´erise la perturbation des propri´et´es de l’espace due `a la chargeq1

fixe enP1.

Le champ ´electrique est un champ vectoriel, qui se calcule en tout point de l’espace.

Pour mat´erialiser cette perturbation, il faut utiliser une chargeq2plac´ee enM2. Cette charge est alors soumise `a la force ´electrostatique de Coulomb

Loi de Coulomb.

Enonc´e de Coulomb : Deux charges ponctuellesq1etq2plac´e dans le vide au pointM1etM2

fixes et distantes de r exercent l’une sur l’autre une force proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carr´e de la distance r. (Force newtonnienne).

f1→2~ =q2~E1(M2) = 1 4π0

q1q2

r² ~u1→2 1

4π₀ = 9.10⁹S.I..0est la permitivit´e di´electrique absolue du vide (air).

Le champ ´electrique se mesure enV.m⁻¹. Cette force ob´eit au principe de action r´eciproque.

~E1est un champ de vecteur stationnaire, il ne d´epend pas du temps.

Il est uniforme s’il ne d´epend pas du point de l’espace.

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Principe de superposition.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

Propri´et´es de la charge.

Loi de Coulomb, champ ´electrique.

Principe de superposition.

Analyse de carte de ligne de champ ´electrostatique.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Principe de superposition.

Th´ eor` eme de superposition.

Les ´equations de Maxwell ´etant lin´eaires, le champ ´electrique ob´eit au principe de superposition.

Le champ ´electrique cr´ee par une distributionD=qi est

~Etot(M) =P

i~Ei(M) =P

i 1 4π₀

q_i P_iM²~uAi→M

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Analyse de carte de ligne de champ ´electrostatique.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

Propri´et´es de la charge.

Loi de Coulomb, champ ´electrique.

Principe de superposition.

Analyse de carte de ligne de champ ´electrostatique.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Analyse de carte de ligne de champ ´electrostatique.

Ligne de champ.

Une ligne de champ est la ligne tangeante en tout point M au champ.

d~l tangeant `a~E:d~l∧~E=~0.

Premi` ere analyse des lignes de champs

Dans les zones de l’espace sans charge : div−→ E = 0 Le flux du champ se conserve sur un tube de champ.

Cons´equence :

Le champ ´electrostatique est plus intense dans les zones o`u les lignes de champs sont plus resserr´es.

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Analyse de carte de ligne de champ ´electrostatique.

Figure–Deux charges identiques.

´

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Analyse de carte de ligne de champ ´electrostatique.

Figure–Deux charges identiques.

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Analyse de carte de ligne de champ ´electrostatique.

Figure–Deux charges oppos´ees.

´

Etude d’un ensemble de charges ponctuelles. Analyse de carte de ligne de champ ´electrostatique.

Figure–Deux charges non identiques.

´Etude d’une distribution continue de charge. R´epartition des charges dans un solide.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´ R´epartition des charges dans un solide.

Distribution volumique de charge.

Distribution surfacique de charge.

Distribution lin´eique de charge.

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

´Etude d’une distribution continue de charge. R´epartition des charges dans un solide.

Dans la nature, les charges isol´es sont rares. Elles sont en g´en´eral port´ees par des solides : charge sur un morceau de verre (+) ou d’epoxy (-) frott´e : tribo´electricit´e.

thermo´electricit´e photo´electricit´e

piezoelectricit´e : quartzα.

Il faut d`es lors distinguer deux types de solides : les solides isolants et les solides conducteurs.

Dans un isolant, les charges sont fixes, immobiles.

Dans un conducteurs, les charges sont mobiles et le localisent en surface.

Dans un milieu, on isole un ´el´ement m´esoscopique dV centr´ee sur un point P.

A cette ´echelle, il devient impossible de ”compter” les ´electrons, la charge n’est plus quantifi´e. (En fait elle l’est mais ce n’est pas perceptible : `a cette ´echelle, perdre ou gagner une charge ne change pas significativementρ).

N´eanmoins, la charge reste conservative et invariante par changement de r´ef´erentiel.

´Etude d’une distribution continue de charge. R´epartition des charges dans un solide.

Dans la nature, les charges isol´es sont rares. Elles sont en g´en´eral port´ees par des solides : charge sur un morceau de verre (+) ou d’epoxy (-) frott´e : tribo´electricit´e.

thermo´electricit´e photo´electricit´e

piezoelectricit´e : quartzα.

Il faut d`es lors distinguer deux types de solides : les solides isolants et les solides conducteurs.

Dans un isolant, les charges sont fixes, immobiles.

Dans un conducteurs, les charges sont mobiles et le localisent en surface.

Dans un milieu, on isole un ´el´ement m´esoscopique dV centr´ee sur un point P.

A cette ´echelle, il devient impossible de ”compter” les ´electrons, la charge n’est plus quantifi´e.

(En fait elle l’est mais ce n’est pas perceptible : `a cette ´echelle, perdre ou gagner une charge ne change pas significativementρ).

N´eanmoins, la charge reste conservative et invariante par changement de r´ef´erentiel.

´

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution volumique de charge.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´ R´epartition des charges dans un solide.

Distribution volumique de charge.

Distribution surfacique de charge.

Distribution lin´eique de charge.

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution volumique de charge.

Champ ´electrique cr´e´e par une distribution volumique de charge.

Figure–Distribution volumique de charge.

Chaque ´el´ementdV, centr´e sur un point P, de chargedqpeut ˆetre assimil´e `a une charge ponctuelle et cr´ee donc au point M un champdE(M) =~ _4π¹

0 dq

PM²~uP→M=_4π¹

0 ρdV PM²~uP→M.

´

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution volumique de charge.

Champ ´electrique cr´e´e par une distribution volumique de charge.

Figure–Distribution volumique de charge.

Chaque ´el´ementdV, centr´e sur un point P, de chargedqpeut ˆetre assimil´e `a une charge ponctuelle et cr´ee donc au point M un champdE(M) =~ _4π¹

0 dq

PM²~uP→M=_4π¹

0 ρdV PM²~uP→M. Par le principe de superposition,

~E(M) = ”X

dE(M) =~ ZZZ 1

4π0

ρdV(P) PM² ~uP→M

Il s’agit l`a encore d’une somme vectorielle, le vecteur~uP→M d´epend du point P de l’´el´ement d’int´egration dV donc c’est une somme (une int´egrale) difficile `a calculer a priori.

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution volumique de charge.

Champ ´electrique cr´e´e par une distribution volumique de charge.

Figure–Distribution volumique de charge.

Chaque ´el´ementdV, centr´e sur un point P, de chargedqpeut ˆetre assimil´e `a une charge ponctuelle et cr´ee donc au point M un champdE(M) =~ _4π¹

0 dq

PM²~uP→M=_4π¹

0 ρdV PM²~uP→M. Par le principe de superposition,

~E(M) = ”X

dE(M) =~ ZZZ 1

4π0

ρdV(P) PM² ~uP→M

Il s’agit l`a encore d’une somme vectorielle, le vecteur~uP→M d´epend du point P de l’´el´ement d’int´egration dV donc c’est une somme (une int´egrale) difficile `a calculer a priori.

´

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution volumique de charge.

Champ ´electrique cr´e´e par une distribution volumique de charge.

Figure–Distribution volumique de charge.

Chaque ´el´ementdV, centr´e sur un point P, de chargedqpeut ˆetre assimil´e `a une charge ponctuelle et cr´ee donc au point M un champdE(M) =~ _4π¹

0 dq

PM²~uP→M=_4π¹

0 ρdV PM²~uP→M. Par le principe de superposition,

~E(M) = ”X

dE(M) =~ ZZZ 1

4π0

ρdV(P) PM² ~uP→M

Il s’agit l`a encore d’une somme vectorielle, le vecteur~uP→M d´epend du point P de l’´el´ement d’int´egration dV donc c’est une somme (une int´egrale) difficile `a calculer a priori.

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution volumique de charge.

Champ ´electrique cr´e´e par une distribution volumique de charge.

Figure–Distribution volumique de charge.

Chaque ´el´ementdV, centr´e sur un point P, de chargedqpeut ˆetre assimil´e `a une charge ponctuelle et cr´ee donc au point M un champdE(M) =~ _4π¹

0 dq

PM²~uP→M=_4π¹

0 ρdV PM²~uP→M. Par le principe de superposition,

~E(M) = ”X

dE(M) =~ ZZZ 1

4π0

ρdV(P) PM² ~uP→M

Il s’agit l`a encore d’une somme vectorielle, le vecteur~uP→M d´epend du point P de l’´el´ement d’int´egration dV donc c’est une somme (une int´egrale) difficile `a calculer a priori.

´

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution surfacique de charge.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´ R´epartition des charges dans un solide.

Distribution volumique de charge.

Distribution surfacique de charge.

Distribution lin´eique de charge.

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution surfacique de charge.

Chaque ´el´ement m´esoscopique de surface dS, centr´ee en P, porte une charge dq :dq=σ(P)dS, etσ(P) = ^dq_dS est donc la charge surfacique enC.m⁻².

Champ ´electrique cr´e´e par une distribution surfacique de charge.

Chaque ´el´ement dS, centr´e sur un point P, de charge dq peut ˆetre assimil´e `a une charge ponctuelle et cr´ee donc au point M un champdE(M) =~ _4π¹

0 dq

PM²~uP→M=_4π¹

0 σdS PM²~uP→M. Par le principe de superposition,

E(M) = ”~ X

d~E(M) = Z Z 1

4π0

σdS(P) PM² ~uP→M

Il s’agit l`a encore d’une somme vectorielle, le vecteur~uP→M d´epend du point P de l’´el´ement d’int´egration dS donc c’est une somme (une int´egrale) difficile `a calculer a priori.

´

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution surfacique de charge.

Chaque ´el´ement m´esoscopique de surface dS, centr´ee en P, porte une charge dq :dq=σ(P)dS, etσ(P) = ^dq_dS est donc la charge surfacique enC.m⁻².

Retour sur la mod´elisation surfacique (qui est excessive).

Une feuille de papier est une surface = un volume d’´epaisseurδfaible.

La seule r´ealit´e physique est la distribution volumique. Le mod`ele surfacique est une vision simplifi´ee mais excessive.

~E(M) =R R R ₁

4π₀ ρdV(P)

PM² ~uP→M=R R ₁

4π₀ ρδdV(P)

PM² ~uP→M=RR ₁

4π₀ σdS(P)

PM² ~uP→M. D’o`u

σ=ρδ (ρ→ ∞etδ→0 dans la mod´elisation surfacique.)

Si dans un exercice, la distribution surfacique est gˆenante, il est toujours possible de se ramener `a un mod`ele plus ”r´ealiste” de distribution volumique sur une ´epaisseurδfaible.

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution lin´eique de charge.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´ R´epartition des charges dans un solide.

Distribution volumique de charge.

Distribution surfacique de charge.

Distribution lin´eique de charge.

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

´Etude d’une distribution continue de charge. Distribution lin´eique de charge.

Chaque ´el´ement m´esoscopique centr´ee sur P, de longueur dl porte une charge dq :dq=λ(P)dl, etλ=^dq_dl est donc la charge surfacique enC.m⁻¹.

Par le principe de superposition,

~E(M) = ”X

dE~(M) = Z 1

4π0

λdl(P) PM² ~uP→M

De mˆeme (voire pire) que le mod`ele surfacique, ce mod`ele lin´eique est le cas limite d’une distribution volumique sur un objet dont deux des trois dimensions sont tr`es faibles devant la troisi`eme.

λ=ρδ²ou =ρπδ²pour respecter la sym´etrie cylindrique.

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

Sym´etrie de la distribution de charge.

Invariance de la distribution de charge.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

D´ efinition d’un plan π de sym´ etrie de la distribution

Soient P et P’ le sym´etrique de P par le plan de sym´etrie.P⁰=symπP

La distributionDde charge est sym´etrique par rapport au planπsi et seulement siρ(P) =ρ(P⁰).

Cons´ equences des plans de sym´ etrie.

Le champ ´electrostatique cr´e´ee en un point M du plan de sym´etrie appartient au plan de sym´etrie.

M∈π⇒~E(M)⊂π

Le champ ´electrostatique en M’ est le sym´etrique du champ cr´ee en M.

M⁰=symπM⇒E(M~ ⁰) =symπ(E(M~ ⁰)) D´emonstration graphique.

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

D´ efinition d’un plan π

d’antisym´ etrie de la distribution

Soient P et P’ le sym´etrique de P par le plan de sym´etrie.P⁰=symπ^∗P

La distributionD de charge est antisym´etrique par rapport au planπ^∗si et seulement si ρ(P) =−ρ(P⁰).

Cons´ equences des plans de sym´ etrie.

Le champ ´electrostatique cr´e´ee en un point M du plan d’antisym´etrie est perpendiculaire au plan d’antisym´etrie.

M∈π^∗⇒~E(M)⊥π^∗

Le champ ´electrostatique en M’ est le sym´etrique du champ cr´ee en M.

M⁰=symπ^∗M⇒E(M~ ⁰) =−sym_π∗(~E(M⁰)) D´emonstration graphique.

´

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Applications : Exemple de la distribution cylindrique.

Figure–Cylindre infini uniform´ement charg´e en volume.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Le champ ´electrique~Eposs`ede donc a priori trois composantes sur (~ur, ~uθ, ~uz) : (Er,Eθ,Ez).

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Applications : Exemple de la distribution cylindrique.

Figure–Cylindre infini uniform´ement charg´e en volume.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Le champ ´electrique~Eposs`ede donc a priori trois composantes sur (~ur, ~uθ, ~uz) : (Er,Eθ,Ez).

(M, ~ur, ~uz) est un plan de sym´etrie de la distribution, donc~Eappartient `a ce plan et donc le champ ´electrique n’a pas de composante suivant~uθ :Eθ= 0.

´

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Applications : Exemple de la distribution cylindrique.

Figure–Cylindre infini uniform´ement charg´e en volume.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Le champ ´electrique~Eposs`ede donc a priori trois composantes sur (~ur, ~uθ, ~uz) : (Er,Eθ,Ez).

(M, ~ur, ~u_θ) est un plan de sym´etrie de la distribution, doncE~ appartient `a ce plan et donc le champ ´electrique n’a pas de composante suivant~uz :Ez = 0.

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Applications : Exemple de la distribution cylindrique.

Figure–Cylindre infini uniform´ement charg´e en volume.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Le champ ´electrique~Eposs`ede donc a priori trois composantes sur (~ur, ~uθ, ~uz) : (Er,Eθ,Ez).

(M, ~ur, ~u_θ) est un plan de sym´etrie de la distribution, doncE~ appartient `a ce plan et donc le champ ´electrique n’a pas de composante suivant~uz :Ez = 0.

(M, ~ur, ~uz) est un plan de sym´etrie de la distribution, donc~Eappartient `a ce plan et donc le champ ´electrique n’a pas de composante suivant~uθ :Eθ= 0.

En conclusion,E~ poss`ede une unique composante suivant~ur; seulEr est non nul.

´

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Applications : Exemple de la distribution cylindrique.

Figure–Cylindre infini uniform´ement charg´e en volume.

Cons´ equence des sym´ etries.

Les sym´etries permettent de trouver la direction du champ ´electrique (ou d’obtenir des informations sur sa direction.)

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Figure–Deux charges identiques : analyse des sym´etries.

´

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Figure–Deux charges identiques : analyse des sym´etries.

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Figure–Deux charges identiques : analyse des sym´etries.

´

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Figure–Deux charges identiques : analyse des sym´etries.

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Figure–Deux charges oppos´ees : analyse des sym´etries.

´

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Figure–Deux charges oppos´ees : analyse des sym´etries.

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Figure–Deux charges oppos´ees : analyse des sym´etries.

´

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Sym´etrie de la distribution de charge.

Figure–Deux charges oppos´ees : analyse des sym´etries.

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Invariance de la distribution de charge.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

Sym´etrie de la distribution de charge.

Invariance de la distribution de charge.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Invariance de la distribution de charge.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Figure–Cylindre infini uniform´ement charg´e en volume.

Le champ ´electrique~Ed´epend donc (r,θ,z) :E(r~ ,θ,z)

La distribution est invariante par rotation autour de l’axez, d’un angleθ. Donc~Eest invariant par rotation d’un angleθ, et par cons´equent~Ene d´epend pas de la coordonn´eeθ.

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Invariance de la distribution de charge.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Figure–Cylindre infini uniform´ement charg´e en volume.

Le champ ´electrique~Ed´epend donc (r,θ,z) :E(r~ ,θ,z)

La distribution est invariante par translation suivant l’axez. Donc~Eest invariant par translation suivant l’axez, et par cons´equent~Ene d´epend pas de la coordonn´eez.

´

Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique. Invariance de la distribution de charge.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Le champ ´electrique~Ed´epend donc (r,θ,z) :E(r~ ,θ,z)

La distribution est invariante par translation suivant l’axez. Donc~Eest invariant par translation suivant l’axez, et par cons´equent~Ene d´epend pas de la coordonn´eez.

La distribution est invariante par rotation autour de l’axez, d’un angleθ. Donc~Eest invariant par rotation d’un angleθ, et par cons´equent~Ene d´epend pas de la coordonn´eeθ.

Par cons´equent~Ene d´epend que der.

Cons´ equence des invariances.

Les invariances par rotation et par translation permettent d’obtenir des informations sur la d´ependance du champ dans les diverses coordonn´ees de l’espace.

Th´eor`eme de Gauss. Equation de Maxwell du champ ´electrostatique.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

Equation de Maxwell du champ ´electrostatique.

Etude d’une distribution cylindrique.

Etude d’une distribution sph´erique.

Du plan infini au condensateur plan.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Th´eor`eme de Gauss. Equation de Maxwell du champ ´electrostatique.

L’´equations de Maxwell Gauss donne : div−→

E = ^ρ

0 donne avec le th´eor`eme de Stokes OstrogradskiHH

Σ

−

→E.d−→ S =^Qint

0

Th´ eor` eme de Gauss.

Le flux du champ ´electrique `a travers une surface ferm´e est ´egal `a la charge int´erieure `a cette surface divis´ee par la permittivit´e du vide0

II

Σ

−

→E.d−→ S = Qint

0

Int´erˆet du th´eor`eme de Gauss pour le calcul du champ ´electrostatique :

Le th´eor`eme de Gauss est un ´equation scalaire, donc elle ne permet de calculer qu’une seule compsante du champ ´electrique. Le th´eor`eme de Gauss est donc appliqu´e au situation `a forte sym´etrie.

Le th´eor`eme de Gauss est une ´equation scalaire donc facile `a calculer, contrairement aux int´egrales vectorielles.

Th´eor`eme de Gauss. Equation de Maxwell du champ ´electrostatique.

L’´equations de Maxwell Gauss donne : div−→

E = ^ρ

0 donne avec le th´eor`eme de Stokes OstrogradskiHH

Σ

−

→E.d−→ S =^Qint

0

Th´ eor` eme de Gauss.

Le flux du champ ´electrique `a travers une surface ferm´e est ´egal `a la charge int´erieure `a cette surface divis´ee par la permittivit´e du vide0

II

Σ

−

→E.d−→ S = Qint

0

Int´erˆet du th´eor`eme de Gauss pour le calcul du champ ´electrostatique :

Le th´eor`eme de Gauss est un ´equation scalaire, donc elle ne permet de calculer qu’une seule compsante du champ ´electrique. Le th´eor`eme de Gauss est donc appliqu´e au situation `a forte sym´etrie.

Le th´eor`eme de Gauss est une ´equation scalaire donc facile `a calculer, contrairement aux int´egrales vectorielles.

´

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

Equation de Maxwell du champ ´electrostatique.

Etude d’une distribution cylindrique.

Etude d’une distribution sph´erique.

Du plan infini au condensateur plan.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Par l’´etude des sym´etries, nous avons montr´e que le champ ´electrostatique poss´edait une unique composante selon~ur :E(M) =~ Er(M)~ur.

Par l’´etude des invariance, nous avons montr´e que le champ ´electrostatique ne d´ependait que de la coordonn´ees de r de M :~E(M) =Er(r)~ur.

Comme le champ ´electrostatique poss`ede une unique composante, le th´eor`eme de Gauss est adapt´e pour ´etudier cette composante.

Choix d’une surface de Gauss ferm´ee passant par M et respectant les sym´etries.

Calcul du flux du champ ´electrostatique `a travers la surface de Gauss Calcul de la charge int´erieure `a la surface de Gauss

D´etermination du champ ´electrique via l’´egalit´e du th´eor`eme de Gauss.

´

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Calcul du champ ´electrostatique ext´erieurE(M) =~ Er(r)~ur.

Choix d’une surface de Gauss ferm´ee passant par M et respectant les sym´etries : cylindre de rayonr>R, de hauteur h arbitraire.

Figure–Cylindre infini uniform´ement charg´e en volume.

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Calcul du champ ´electrostatique ext´erieurE(M) =~ Er(r)~ur.

Choix d’une surface de Gauss ferm´ee passant par M et respectant les sym´etries : cylindre de rayonr>R, de hauteur h arbitraire.

Calcul du flux du champ ´electrostatique `a travers la surface de Gauss.

II

Σ

−

→E.d−→

S = 0sup+ 0inf + ZZ

S_lateral

Er(r)~ur.dS~ur =Er(r).2πrh

Calcul de la charge int´erieure `a la surface de Gauss Qint=

ZZZ

ρdV=ρ.π.R².h

D´etermination du champ ´electrique via l’´egalit´e du th´eor`eme de Gauss. pourr>R, ~E(r) = ρ.R²

20.r~ur

´

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Calcul du champ ´electrostatique ext´erieurE(M) =~ Er(r)~ur.

Choix d’une surface de Gauss ferm´ee passant par M et respectant les sym´etries : cylindre de rayonr>R, de hauteur h arbitraire.

Calcul du flux du champ ´electrostatique `a travers la surface de Gauss.

II

Σ

−

→E.d−→

S = 0sup+ 0inf + ZZ

S_lateral

Er(r)~ur.dS~ur =Er(r).2πrh

Calcul de la charge int´erieure `a la surface de Gauss Qint=

ZZZ

ρdV=ρ.π.R².h

D´etermination du champ ´electrique via l’´egalit´e du th´eor`eme de Gauss. pourr>R, ~E(r) = ρ.R²

20.r~ur

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Calcul du champ ´electrostatique ext´erieurE(M) =~ Er(r)~ur.

Choix d’une surface de Gauss ferm´ee passant par M et respectant les sym´etries : cylindre de rayonr>R, de hauteur h arbitraire.

Calcul du flux du champ ´electrostatique `a travers la surface de Gauss.

II

Σ

−

→E.d−→

S = 0sup+ 0inf + ZZ

S_lateral

Er(r)~ur.dS~ur =Er(r).2πrh

Calcul de la charge int´erieure `a la surface de Gauss Qint=

ZZZ

ρdV=ρ.π.R².h

D´etermination du champ ´electrique via l’´egalit´e du th´eor`eme de Gauss.

pourr>R, ~E(r) = ρ.R² 20.r~ur

´

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Calcul du champ ´electrostatique int´erieurE(M) =~ Er(r)~ur.

Choix d’une surface de Gauss ferm´ee passant par M et respectant les sym´etries : cylindre de rayonr<R, de hauteur h arbitraire.

Figure–Cylindre infini uniform´ement charg´e en volume.

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Calcul du champ ´electrostatique int´erieurE(M) =~ Er(r)~ur.

Choix d’une surface de Gauss ferm´ee passant par M et respectant les sym´etries : cylindre de rayonr<R, de hauteur h arbitraire.

Calcul du flux du champ ´electrostatique `a travers la surface de Gauss.

II

Σ

−

→E.d−→

S = 0sup+ 0inf + ZZ

S_lateral

Er(r)~ur.dS~ur =Er(r).2πrh

Calcul de la charge int´erieure `a la surface de Gauss Qint=

ZZZ

ρdV =ρ.π.r².h

D´etermination du champ ´electrique via l’´egalit´e du th´eor`eme de Gauss. pourr <R, ~E(r) = ρ.r

20

~ur

´

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Calcul du champ ´electrostatique int´erieurE(M) =~ Er(r)~ur.

Choix d’une surface de Gauss ferm´ee passant par M et respectant les sym´etries : cylindre de rayonr<R, de hauteur h arbitraire.

Calcul du flux du champ ´electrostatique `a travers la surface de Gauss.

II

Σ

−

→E.d−→

S = 0sup+ 0inf + ZZ

S_lateral

Er(r)~ur.dS~ur =Er(r).2πrh

Calcul de la charge int´erieure `a la surface de Gauss Qint=

ZZZ

ρdV =ρ.π.r².h

D´etermination du champ ´electrique via l’´egalit´e du th´eor`eme de Gauss. pourr <R, ~E(r) = ρ.r

20

~ur

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

Calcul du champ ´electrostatique int´erieurE(M) =~ Er(r)~ur.

Choix d’une surface de Gauss ferm´ee passant par M et respectant les sym´etries : cylindre de rayonr<R, de hauteur h arbitraire.

Calcul du flux du champ ´electrostatique `a travers la surface de Gauss.

II

Σ

−

→E.d−→

S = 0sup+ 0inf + ZZ

S_lateral

Er(r)~ur.dS~ur =Er(r).2πrh

Calcul de la charge int´erieure `a la surface de Gauss Qint=

ZZZ

ρdV =ρ.π.r².h

D´etermination du champ ´electrique via l’´egalit´e du th´eor`eme de Gauss.

pourr <R, ~E(r) = ρ.r 20

~ur

´

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution cylindrique.

Consid´erons une distribution volumique uniforme de charge cylindrique i.e. les charges sont r´eparties uniform´ement dans la mati`ere (isolante) de forme cylindrique.

pourr>R, ~E(r) = ρ.R² 20.r~ur

pourr<R, ~E(r) = ρ.r 20

~ ur

Le champ ´electrique est continu `a la travers´ee de la surface du cylindre enr=R(distribution volumique).

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution sph´erique.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

Equation de Maxwell du champ ´electrostatique.

Etude d’une distribution cylindrique.

Etude d’une distribution sph´erique.

Du plan infini au condensateur plan.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution sph´erique.

Consid´erons un sph`ere uniform´ement charg´ee en volume.

Etude des Sym´etries :

Figure–Sph`ere de rayon R portant une charge volumique uniforme.

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution sph´erique.

Consid´erons un sph`ere uniform´ement charg´ee en volume.

Etude des Sym´etries :

Figure–Sph`ere de rayon R portant une charge volumique uniforme.

´

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution sph´erique.

Consid´erons un sph`ere uniform´ement charg´ee en volume.

Etude des Sym´etries :

Figure–Sph`ere de rayon R portant une charge volumique uniforme.

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution sph´erique.

Consid´erons un sph`ere uniform´ement charg´ee en volume.

Etude des Sym´etries :

Figure–Sph`ere de rayon R portant une charge volumique uniforme.

´

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution sph´erique.

Consid´erons un sph`ere uniform´ement charg´ee en volume.

Etude des Invariances :

Figure–Sph`ere de rayon R portant une charge volumique uniforme.

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution sph´erique.

Consid´erons un sph`ere uniform´ement charg´ee en volume.

Etude des Invariances :

Figure–Sph`ere de rayon R portant une charge volumique uniforme.

´

Th´eor`eme de Gauss. Etude d’une distribution sph´erique.

Consid´erons un sph`ere uniform´ement charg´ee en volume.

Le calcul du champ ´electrostatique par le Th´eor`eme de Gauss donne pourr>R:~E= Qtot

4π0r²~ur= ρ.R³ 30r²~ur

pourr<R:E~ = ρ.r 30

~ur

Th´eor`eme de Gauss. Du plan infini au condensateur plan.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

Equation de Maxwell du champ ´electrostatique.

Etude d’une distribution cylindrique.

Etude d’une distribution sph´erique.

Du plan infini au condensateur plan.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Th´eor`eme de Gauss. Du plan infini au condensateur plan.

Consid´erons un plan ”infini” de surface S, portant une charge surfacique uniformeσ.

Etude des sym´etries :

Figure–Plan infini portant une distribution surfacique de charge uniforme.

Th´eor`eme de Gauss. Du plan infini au condensateur plan.

Consid´erons un plan ”infini” de surface S, portant une charge surfacique uniformeσ.

Etude des sym´etries :

Figure–Plan infini portant une distribution surfacique de charge uniforme.

´

Th´eor`eme de Gauss. Du plan infini au condensateur plan.

Consid´erons un plan ”infini” de surface S, portant une charge surfacique uniformeσ.

Etude des sym´etries :

Figure–Plan infini portant une distribution surfacique de charge uniforme.

Th´eor`eme de Gauss. Du plan infini au condensateur plan.

Consid´erons un plan ”infini” de surface S, portant une charge surfacique uniformeσ.

Etude des sym´etries :

Figure–Plan infini portant une distribution surfacique de charge uniforme.

´

Th´eor`eme de Gauss. Du plan infini au condensateur plan.

Consid´erons un plan ”infini” de surface S, portant une charge surfacique uniformeσ.

Etude des Invariances :

Figure–Plan infini portant une distribution surfacique de charge uniforme.

Th´eor`eme de Gauss. Du plan infini au condensateur plan.

Consid´erons un plan ”infini” de surface S, portant une charge surfacique uniformeσ.

Etude des Invariances :

Figure–Plan infini portant une distribution surfacique de charge uniforme.

´

Th´eor`eme de Gauss. Du plan infini au condensateur plan.

Consid´erons un plan ”infini” de surface S, portant une charge surfacique uniformeσ.

Le calcul du champ ´electrostatique par le th´eor`eme de Gauss conduit `a pourz>0, ~E= σ

2.0

~uz

.

Th´eor`eme de Gauss. Du plan infini au condensateur plan.

Consid´erons un second plan ”infini” de surface S, faisant face au premier plan, distant de e, afin de former un condensateur.

Par influence, cette seconde armature acqui`ere une charge oppos´ee `a la premi`ere armature et porte donc une charge surfacique uniforme−σ.

L’application du th´eor`eme de superposition conduit donc au champ ´electrostatique suivant : pour un point int´erieur au condensateure>z>0, ~E= σ

0

~ uz

pour un point ext´erieur au condensateurz<0, ouz>0, ~E=~0

Le calcul de l’´energie ´electrostatique dans le condensateur et son assimilation `a l’´energie usuelle du condensateur <sub>2.C</sub><sup>Q2</sup> conduit `a

C=0.S e

´

Th´eor`eme de Gauss. Du plan infini au condensateur plan.

Consid´erons un second plan ”infini” de surface S, faisant face au premier plan, distant de e, afin de former un condensateur.

Par influence, cette seconde armature acqui`ere une charge oppos´ee `a la premi`ere armature et porte donc une charge surfacique uniforme−σ.

L’application du th´eor`eme de superposition conduit donc au champ ´electrostatique suivant : pour un point int´erieur au condensateure>z>0, ~E= σ

0

~ uz

pour un point ext´erieur au condensateurz<0, ouz>0, ~E=~0

Le calcul de l’´energie ´electrostatique dans le condensateur et son assimilation `a l’´energie usuelle du condensateur <sub>2.C</sub><sup>Q2</sup> conduit `a

C=0.S e

Potentiel ´electrostatique. Energie potentielle et potentielle ´electrostatique.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

Energie potentielle et potentielle ´electrostatique.

Calcul de la circulation du champ ´electrique.

Equation locale du potentielle.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Potentiel ´electrostatique. Energie potentielle et potentielle ´electrostatique.

Exemple du calcul pour la sph`ere.

Expression g´en´erale :

Calcul pour la distribution volumique :V(M) =R R R

P∈volume ρdV(P) 4π₀PM

Calcul pour la distribution surfacique :V(M) =R R

P∈surface σdS(P) 4π₀PM

Calcul pour la distribution lin´eique :V(M) =R

P∈fil λdl(P) 4π₀PM

D´etermination des constantes du potentiel.

Pour les distributions finies, choix de la r´ef´erence `a l’infiniV(r=∞) = 0.

Pour les distributions infinies, potentiel non nul `a l’infini donc on le fixe arbitrairement en un point.

Continuit´e du potentiel et du champ pour les distributions volumiques.

Pour une distribution volumique, continuit´e du potentiel et du champ.

Pour une distribution surfacique. continuit´e du potentiel et discontinuit´e finie du champ

~E2−E~1=^σ

0~n1→2. Surface ´equipotentielle : Surface o`u le potentielV=cste.

Propri´et´e :

Les surfaces ´equipotentielles sont perpendiculaires au champ ´electrique et donc aux ligne de champ.

Potentiel ´electrostatique. Calcul de la circulation du champ ´electrique.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

Energie potentielle et potentielle ´electrostatique.

Calcul de la circulation du champ ´electrique.

Equation locale du potentielle.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Potentiel ´electrostatique. Calcul de la circulation du champ ´electrique.

D´efinition : la circulation deE~ le long du chemin AB estRB A E.d~ ~l.

Prendre une chargeqqui cr´ee un champE~ =_4π^q

0r²~ur dans tous l’espace.

Dessin.

d~l=dr~ur+rdθ~uθ. RB

A E.(dr~~ ur+rdθ~uθ) =RB A

q 4π₀r²drRB

A ~E.(dr~ur+rdθ~uθ) =_4π^q

0(_r¹

A −_r¹

B)

Ce r´esultat est g´en´eralisable `a toute distribution de charges d’apr`es le principe de superposition.

Le calcul de la circulation ne d´epend pas du chemin suivi.E~ est dit `a circulation conservative.

Remarque 1 : En ´ecrivantE~ =−grad V~ , on aboutit au mˆeme r´esultat.

Il faut donc comprendre que~Ed´erive d’un potentielV et~Eest `a circulation conservative sont deux assertions ´equivalentes.

Remarque 2 : Le travail de la force~f pour d´eplacer la chargeq⁰ dans le champ ´electrique cr´ee par qestWA→B=RB

A q⁰~E.d~l=−q⁰(VB−VA) =−∆E_P,~f d´erive d’une ´energie potentielle.

Potentiel ´electrostatique. Equation locale du potentielle.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

Energie potentielle et potentielle ´electrostatique.

Calcul de la circulation du champ ´electrique.

Equation locale du potentielle.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Potentiel ´electrostatique. Equation locale du potentielle.

Equation de Poisson

Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel. Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

´

Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel. Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

´

electrostatique gravitation

source du champ vectoriel charge fixe q en P(ouρdV) masse m en P(ouρdV)

Force subie par une charge q’ enM0: par une masse m’ enM0:

~f =q⁰~Eq(M0) ~f =m⁰G~m(M0)

champ vectoriel cr´ee dans tout l’espace E(M) =~ _4π¹

0 q

PM²~uP→M G~(M) =G_PM^m₂~uP→M

champ `a circulation conservative ou Vq(M) =_4π¹

0 q

PM Vm(M) =G_PM^q₂ champ d´erivant d’un potentiel scalaire

Etude du flux du champ vectoriel HH~E.d~S=^qint

0

HHG~.d~S= 4πGmint

Th´eor`eme de Gauss

Le dipˆole ´electrostatique. D´efinition d’un dipˆole.

Plan

1 Etude d’un ensemble de charges ponctuelles.

2 Etude d’une distribution continue de charge.´

3 Propri´et´e de sym´etrie et d’invariance du champ ´electrique.

4 Th´eor`eme de Gauss.

5 Potentiel ´electrostatique.

6 Analogie entre champ ´electrostatique et champ gravitationnel.

7 Le dipˆole ´electrostatique.

D´efinition d’un dipˆole.

Champ cr´ee par un dipˆole ´electrostatique.

Action subies par un dipˆole rigide ´electrostatique dans un champ ´electrostatique ext´erieur.

´

Le dipˆole ´electrostatique. D´efinition d’un dipˆole.

D´efinition : ensemble de charges nulles mais o`u le barycentre des charges sont distincts.

Dessin (P1,+q) et (P2,−q) distant de a.~p=qa~uz. Etude pourr >>a.

Exemple : HCl et mol´ecule d’eau.