Induction.
P. Ribi`ere
Coll`ege Stanislas
Ann´ee Scolaire 2017/2018
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 1 / 38
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 2 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Approximation des r´egimes quasi stationnaires.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
Approximation des r´egimes quasi stationnaires.
Equation de Maxwell dans l’ARQS.
Cons´equence pour l’´equation de conservation de la charge.
Cons´equence pour le champ magn´etique.
Cons´equence pour le champ ´electrique.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 3 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Approximation des r´egimes quasi stationnaires.
Approximation des r´ egimes quasi stationnaires.
Circuit de dimension d pour lequel le temps de propagation n´egligeable.
d c <<T Tout le circuit voit le mˆeme ph´enom`ene instantan´ement.
Tout se passe comme si la c´el´erit´e c ´etait infinie.
Application num´erique :
Circuit usuel de TP : ARQS possible.
Plus g´en´eralement circuit localis´e : moteur de TGV, plaque `a induction... ARQS possible.
Dans les cˆable haute fr´equence d’EDF : aspect ondulatoire essentiel, mod´elisation par ligne bifilaire.
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Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Equation de Maxwell dans l’ARQS.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
Approximation des r´egimes quasi stationnaires.
Equation de Maxwell dans l’ARQS.
Cons´equence pour l’´equation de conservation de la charge.
Cons´equence pour le champ magn´etique.
Cons´equence pour le champ ´electrique.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 5 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Equation de Maxwell dans l’ARQS.
Les ´ equations de Maxwell dans l’ARQS.
Une distribution volumiqueDde chargeρ(P,t) et de courant~j(P,t) (P∈D) cr´eent un champ
´electromagn´etique (E(M,~ t);B(M,~ t)) donn´ees par les ´equations de Maxwell : div−→
E = 0
−→ rot−→
E =−∂−→ B
∂t div−→
B = 0
−→ rot−→
B =µ0
−
→j
Premi`ere d´emonstration que les courants de d´eplacements sont n´egligeables. (2) Ed ' BT
(4) ||µ00∂~E
∂t||
||−→rot ~B|| '
1 c2
E T B d
' d2 c2T2<<1
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Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Equation de Maxwell dans l’ARQS.
Les ´ equations de Maxwell dans l’ARQS.
Une distribution volumiqueDde chargeρ(P,t) et de courant~j(P,t) (P∈D) cr´eent un champ
´electromagn´etique (E(M,~ t);B(M,~ t)) donn´ees par les ´equations de Maxwell : div−→
E = 0
−→ rot−→
E =−∂−→ B
∂t div−→
B = 0
−→ rot−→
B =µ0
−
→j
Premi`ere d´emonstration que les courants de d´eplacements sont n´egligeables.
(2) Ed 'TB
(4) ||µ00∂~E
∂t||
||−→rot ~B||
'
1 c2
E T B d
' d2 c2T2<<1
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 6 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Equation de Maxwell dans l’ARQS.
Les ´ equations de Maxwell dans l’ARQS.
Une distribution volumiqueDde chargeρ(P,t) et de courant~j(P,t) (P∈D) cr´eent un champ
´electromagn´etique (E(M,~ t);B(M,~ t)) donn´ees par les ´equations de Maxwell : div−→
E = 0
−→ rot−→
E =−∂−→ B
∂t div−→
B = 0
−→ rot−→
B =µ0
−
→j
Seconde d´emonstration dans les m´etaux que les courants de d´eplacements sont n´egligeables.
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Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour l’´equation de conservation de la charge.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
Approximation des r´egimes quasi stationnaires.
Equation de Maxwell dans l’ARQS.
Cons´equence pour l’´equation de conservation de la charge.
Cons´equence pour le champ magn´etique.
Cons´equence pour le champ ´electrique.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 8 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour l’´equation de conservation de la charge.
Conservation de la charge dans l’ARQS.
L’´equation de conservation de la charge est
div(~j) = 0
D´emonstration.
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Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour l’´equation de conservation de la charge.
Conservation de la charge dans l’ARQS.
L’´equation de conservation de la charge est
div(~j) = 0 D´emonstration.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 9 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour le champ magn´etique.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
Approximation des r´egimes quasi stationnaires.
Equation de Maxwell dans l’ARQS.
Cons´equence pour l’´equation de conservation de la charge.
Cons´equence pour le champ magn´etique.
Cons´equence pour le champ ´electrique.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 10 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour le champ magn´etique.
div−→ B = 0
−→ rot−→
B =µ0
−
→j
Les calculs de champs magn´etiques dans l’ARQS sont identiques aux calculs de champs magn´etiques en r´egime stationnaire aussi appel´e magn´etostatique : (loi de Biot et Savart et) th´eor`eme d’Amp`ere.
Champ magn´etique d’un soleno¨ıde infini. Calcul du champ magn´etique d’un fil infini.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 11 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour le champ magn´etique.
div−→ B = 0
−→ rot−→
B =µ0
−
→j
Les calculs de champs magn´etiques dans l’ARQS sont identiques aux calculs de champs magn´etiques en r´egime stationnaire aussi appel´e magn´etostatique : (loi de Biot et Savart et) th´eor`eme d’Amp`ere.
Champ magn´etique d’un soleno¨ıde infini.
Calcul du champ magn´etique d’un fil infini.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 11 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour le champ magn´etique.
div−→ B = 0
−→ rot−→
B =µ0
−
→j
Les calculs de champs magn´etiques dans l’ARQS sont identiques aux calculs de champs magn´etiques en r´egime stationnaire aussi appel´e magn´etostatique : (loi de Biot et Savart et) th´eor`eme d’Amp`ere.
Champ magn´etique d’un soleno¨ıde infini. Calcul du champ magn´etique d’un fil infini.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 11 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour le champ ´electrique.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
Approximation des r´egimes quasi stationnaires.
Equation de Maxwell dans l’ARQS.
Cons´equence pour l’´equation de conservation de la charge.
Cons´equence pour le champ magn´etique.
Cons´equence pour le champ ´electrique.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 12 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour le champ ´electrique.
div−→ E = 0
−→ rot−→
E =−∂−→ B
∂t
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 13 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour le champ ´electrique.
L’´equation de Maxwell Faraday
−→ rot−→
E =−∂−→ B
∂t donne avec le th´eor`eme de Stokes
e=−dΦB
dt avec la force ´electromotricee= I
C
−
→E.d−→
l et le flux de−→ EΦE=
ZZ
S∈C
−
→B.d−→ S
La loi de Faraday et loi de Lenz.
La force ´electromotrice est l’oppos´ee de la variation temporelle du flux de du champ magn´etique.
e=−dΦB
dt avec la force ´electromotricee= I
C
−
→E.d−→
l et le flux de−→ EΦE=
ZZ
S∈C
−
→B.d−→ S
Le signe n´egatif traduit la loi de mod´eration de Lenz :
Le ph´enom`ene tend par ses cons´equences `a s’opposer `a la cause qui lui donne naissance.
Le champ ´electrique n’est plus `a circulation conservative.~E=−−→
gradV +E~mcourant de foucault dans la mati`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 14 / 38
Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire. Cons´equence pour le champ ´electrique.
L’´equation de Maxwell Faraday
−→ rot−→
E =−∂−→ B
∂t donne avec le th´eor`eme de Stokes
e=−dΦB
dt avec la force ´electromotricee= I
C
−
→E.d−→
l et le flux de−→ EΦE=
ZZ
S∈C
−
→B.d−→ S
La loi de Faraday et loi de Lenz.
La force ´electromotrice est l’oppos´ee de la variation temporelle du flux de du champ magn´etique.
e=−dΦB
dt avec la force ´electromotricee= I
C
−
→E.d−→
l et le flux de−→ EΦE=
ZZ
S∈C
−
→B.d−→ S
Le signe n´egatif traduit la loi de mod´eration de Lenz :
Le ph´enom`ene tend par ses cons´equences `a s’opposer `a la cause qui lui donne naissance.
Le champ ´electrique n’est plus `a circulation conservative.~E=−−→
gradV +E~mcourant de foucault dans la mati`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 14 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Rail de Laplace.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
Rail de Laplace.
Auto-induction.
induction mutuelle.
Spire tournante.
Courant de Foucault.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 15 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Rail de Laplace.
Figure–Rail de Laplace
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 16 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Rail de Laplace.
Figure–Rail de Laplace, sch´ema ´electrique ´equivalent.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 17 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Rail de Laplace.
Couplage ´electromagn´etique parfait.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 18 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Rail de Laplace.
Figure–Haut Parleur.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 19 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Auto-induction.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
Rail de Laplace.
Auto-induction.
induction mutuelle.
Spire tournante.
Courant de Foucault.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 20 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Auto-induction.
Etude pour un sol´eno¨ıde.
Calcul deφet L.
Auto induction.
La fem s’oppose au courant. Loi de Lenz.
Rappel uem
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 21 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. induction mutuelle.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
Rail de Laplace.
Auto-induction.
induction mutuelle.
Spire tournante.
Courant de Foucault.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 22 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. induction mutuelle.
Etude pour deux sol´eno¨ıde.
Calcul deφet L et M.
Auto induction et inductance mutuelle.
~Btot(dans 1) =µ0.NL1i1+αµ0.NL2i2
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 23 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Spire tournante.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
Rail de Laplace.
Auto-induction.
induction mutuelle.
Spire tournante.
Courant de Foucault.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 24 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Spire tournante.
La spire tournante dans un champ magn´etique ext´erieur est la mod´elisation tr`es simple d’un moteur ´etudi´e plus en d´etails par la suite.
Figure–Principe du moteur.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 25 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Spire tournante.
Etude spire.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 26 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Courant de Foucault.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
Rail de Laplace.
Auto-induction.
induction mutuelle.
Spire tournante.
Courant de Foucault.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 27 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Courant de Foucault.
Les courants de Foucault sont les courants~jinduits dans la mati`ere.
(Cette situation ne se restreint pas `a des conducteurs filiformes.)
Figure–Principe du chauffade par courant de Foucault. De la plaque `a induction `a la purification du Silicium.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 28 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Courant de Foucault.
Les courants de Foucault sont les courants~jinduits dans la mati`ere.
Figure–Principe du freinage par courant de Foucault. Application au TGV.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 29 / 38
Exemples de ph´enom`ene d’induction. Courant de Foucault.
Les courants de Foucault sont les courants~jinduits dans la mati`ere.
Figure–La l´evitation magn´etique.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 30 / 38
Electromagnetisme dans les m´etaux. Equation de propagation du champ ´electrique dans les m´etaux.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
Equation de propagation du champ ´electrique dans les m´etaux.
Effet de peau.
Conducteur parfait.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 31 / 38
Electromagnetisme dans les m´etaux. Equation de propagation du champ ´electrique dans les m´etaux.
~j=σ~E σ 0
ρ+∂ρ
∂t = 0 σ'108S.m−1f <1016Hz ρ'0
−→
rot ~B=µ0~j+µ00
∂ ~E
∂t =µ0σ~E+µ00
∂ ~E
∂t =µ0σ~E
||µ00∂~E
∂t||
||µ0σ~E|| <<1
−→
rotB~ =µ0~j=µ0σ~E
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 32 / 38
Electromagnetisme dans les m´etaux. Effet de peau.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
Equation de propagation du champ ´electrique dans les m´etaux.
Effet de peau.
Conducteur parfait.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 33 / 38
Electromagnetisme dans les m´etaux. Effet de peau.
∆~~E=µ0σ∂ ~E
∂t
δ'√ DT'
s 2π µ0σω
~E=E(x,t)~uz
k2=−jµ0σω
−j=(1−j)2 2 k=±1−j
δ
δ= s
2 µ0σω
~E=E(x,t)~uz =E0exp(−z
δ) cos(ωt−x δ)~uz
f = 50Hzσ'108S.m−1δ'1cm
f = 50MHzσ'108S.m−1δ'10µmR50MHz= 50.R50Hz
f = 5GHzσ'1011S.m−1δ'0,1µm
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 34 / 38
Electromagnetisme dans les m´etaux. Conducteur parfait.
Plan
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
Equation de propagation du champ ´electrique dans les m´etaux.
Effet de peau.
Conducteur parfait.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 35 / 38
Electromagnetisme dans les m´etaux. Conducteur parfait.
δ <<d
E(M,~ t)int cond parfait=~0 B(M,~ t)int cond parfait=~0
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 36 / 38
Conclusion
Principe d’´equivalence et changement de r´ef´erentiel galil´een.
Figure–Principe d’´equivalence et changement de r´ef´erentiel des champs ´electromagn´etiques.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 37 / 38
Conclusion
1 Electromagn´etisme dans l’Approximation de R´egime Quasi Stationnaire.
Approximation des r´egimes quasi stationnaires.
Equation de Maxwell dans l’ARQS.
Cons´equence pour l’´equation de conservation de la charge.
Cons´equence pour le champ magn´etique.
Cons´equence pour le champ ´electrique.
2 Exemples de ph´enom`ene d’induction.
Rail de Laplace.
Auto-induction.
induction mutuelle.
Spire tournante.
Courant de Foucault.
3 Electromagnetisme dans les m´etaux.
Equation de propagation du champ ´electrique dans les m´etaux.
Effet de peau.
Conducteur parfait.
4 Conclusion
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Induction. Ann´ee Scolaire 2017/2018 38 / 38
