D290. Un bien joli parterre
Ce paysagiste propose à Diophante de créer dans son jardin un parterre dont la bordure et une zone centrale sont gazonnées tandis que la partie fleurie occupe le reste. Avec un référentiel Ox,Oy dont l’origine O est le centre du parterre, les parties gazonnées sont définies par l’ensemble des points de coordonnées réelles {x,y} positives ou négatives ou nulles obéissant à la double inégalité : c ≤ ||x| - a| + ||y|- a| ≤ b dans laquelle |z| désigne la valeur absolue de z et a, b et c sont des
distances telles que 0 < c ≤ 2a ≤ b.
Diophante choisit les paramètres a, b et c en nombres entiers de mètres de sorte que la partie gazonnée et la partie fleurie occupent une même surface < 200m².
Déterminer a, b et c et représenter le dessin du parterre.
Solution proposée par Jean Nicot
Il suffit de considérer le quart de plan x>0 et y>0. La double inégalité s’écrit c ≤ |x - a| + |y - a| ≤ b
Si x<a et y<a c ≤ -x-y+2a ≤ b soit 2a-b ≤ x+y ≤ 2a-c et x+y ≤ 2a-c D’où une première surface gazonnée G1=2(2a-c)²
Si x>a et y>a c ≤ x+y-2a ≤ b soit c+2a ≤ x+y ≤ b+2a D’où une seconde surface G2 = 2b²-2c²
Si x>a et y<a c ≤ x-y≤ b
D’où une troisième surface G3 = 4a(b-c) Si x<a et y>a c ≤ y-x ≤ b et G4 =4a(b-c)
La surface gazonnée est G =2(2a-c)² +2b² -2c²+8a(b-c) G = 8a²+2b²+8ab-16ac = 2(b+2a)² -16ac
La surface fleurie est F=2c²+4a(2c-a)+(4a²-2(2a-c)²)=16ac-8a² G+F = 2(b+2a)²-8a²= 2b(b+2a) <400 donc b<14
G=F fournit c=(8a²+4ab+b²)/16a donc b est multiple de 4, a est multiple de 2 et b est alors multiple de 8 et comme b<14, b=8
Les valeurs 2 et 4 de a fournissent un résultat entier pour c, mais la condition c ≤ 2a élimine la valeur 2
La solution est : a=4 b=8 c=5 G = F = 192
