Ce paysagiste propose à Diophante de créer dans son jardin un parterre dont la bordure et une zone centrale sont gazonnées tandis que la partie fleurie occupe le reste. Avec un référentiel Ox,Oy dont l’origine O est le centre du parterre, les parties gazonnées sont définies par l’ensemble des points de coordonnées réelles {x,y} positives ou négatives ou nulles obéissant à la double inégalité : c ≤ ||x| - a| + ||y|- a| ≤ b dans laquelle |z| désigne la valeur absolue de z et a, b et c sont des
distances telles que 0 < c ≤ 2a ≤ b.
Diophante choisit les paramètres a, b et c en nombres entiers de mètres de sorte que la partie gazonnée et la partie fleurie occupent une même surface < 200m².
Déterminer a, b et c et représenter le dessin du parterre.
Le parterre est symétrique par rapport aux deux axes, et l’on peut donc se limiter à l’étudier pour x et y positifs ou nuls. Dans ce quadrant, les limites des zones sont les carrés centrés sur le point A de coordonnées (a, a), de diagonales respectives 2c et 2b Un coté du carré extérieur est hors du quadrant, et deux cotés opposés de ce carré interceptent les axes, engendrant après les symétries une croix grecque (un carré rogné de quatre petits carrés à chaque sommet), le grand carré ayant une diagonale de 2(b+2a) et chaque petit carré une diagonale de 2a. Soit une aire égale à 2b2+8ab.
Si c≤a, le parterre fleuri se réduit à quatre carrés de diagonale 2c, soit une aire de 8c2. L’égalité de l’aire fleurie et de l’aire gazonnée s’écrit 8c2=b(b+4a), impossible si c≤a puisque le premier membre est alors inférieur à 8a2 et le second supérieur à 12a2. Si c≥a, dans le premier quadrant, le carré intérieur intercepte également les axes, le quatrième coté étant partiellement à l’intérieur du quadrant : le contour du parterre fleuri a également la forme d’une croix grecque, d’aire égale à 2c2+8ac, avec en son centre un carré de gazon de diagonale 4a-2c, d’aire 2(2a-c)2=8a2-8ac+2c2 : l’aire fleurie est donc 8a(2c-a). Les aires fleurie et gazonnée sont égales si b2+4ab=8a(2c-a), soit (b+2a)2+4(2c-a)2=16c2 : modulo 16, 2c-a (donc a) doit être pair et b+2a (donc b) divisible par 4 ; en posant a=2a’, b=4b’ , on obtient (b’+a’)2+(c-a’)2=c2
dont la plus petite solution est c=5, c-a’=3, b’+a’=4, soit a’=b’=2, a=4, b=8. La partie gazonnée et la partie fleurie ont une surface de 192 m2.
