D290. Un bien joli parterre
Ce paysagiste propose à Diophante de créer dans son jardin un parterre dont la bordure et une zone centrale sont gazonnées tandis que la partie fleurie occupe le reste.
Avec un référentiel Ox, Oy dont l’origine O est le centre du parterre, les parties gazonnées sont définies par l’ensemble des points de coordonnées réelles {x, y} positives ou négatives ou nulles obéissant à la double inégalité : c ≤ ||x| - a| + ||y|- a| ≤ b dans laquelle |z| désigne la valeur absolue de z et a, b et c sont des distances telles que 0 < c ≤ 2a ≤ b.
Diophante choisit les paramètres a, b et c en nombres entiers de mètres de sorte que la partie gazonnée et la partie fleurie occupent une même surface < 200m².
Déterminer a, b et c et représenter le dessin du parterre.
Solution proposée par Paul Voyer
Le parterre est constitué de 4 quarts symétriques situés chacun dans un quadrant.
Dans le premier quadrant, les conditions pour le gazon sont c ≤ |x-a| + |y-a| ≤ b.
Ce quadrant se divise en 4 zones, les conditions pour le gazon sont : 0 ≤ x ≤ a et 0 ≤ y ≤ a c ≤ a-x+a-y ≤ b c ≤ 2a-x-y ≤ b 2a-b ≤ x+y ≤ 2a-c
x ≥ a et 0 ≤ y ≤ a c ≤ x-a+a-y ≤ b c ≤ x-y ≤ b
0 ≤ x ≤ a et y ≥ a c ≤ a-x+y-a ≤ b c ≤ y-x ≤ b
x ≤ a et y ≤ a c ≤ x-a+y-a ≤ b c ≤ x+y-2a ≤ b 2a+c ≤ x+y ≤ 2a+b L'égalité détermine les frontières entre gazon et fleurs dans chacune des 4 zones L'utilisation de Geogebra donne quasiment immédiatement la solution.
On trouve a=4, b=8, c=5, les surfaces gazonnée et fleurie faisant chacune 192 m².
