D290– Un bien joli parterre
Ce paysagiste propose à Diophante de créer dans son jardin un parterre dont la bordure et une zone centrale sont gazonnées tandis que la partie fleurie occupe le reste. Avec un référentiel Ox, Oy dont l’origine O est le centre du parterre, les parties gazonnées sont définies par l’ensemble des points de coordonnées réelles {x,y}positives ou négatives ou nulles obéissant à la double inégalité : c ≤ ||x| - a| + ||y|- a| ≤ b dans laquelle |z| désigne la valeur absolue de z et a, b et c sont des distances telles que 0 < c ≤ 2a ≤ b.
Diophante choisit les paramètres a, b et c en nombres entiers de mètres de sorte que la partie gazonnée et la partie fleurie occupent une même surface < 200m².
Déterminer a, b et c et représenter le dessin du parterre.
Solution par Patrick Gordon
Une simulation avec un logiciel de tracé montre qu'il n'y a à la fois une bordure et une zone centrale que si c > a.
Par exemple, pour c = 3, a = 2, b = 5, on obtient (dessin Wolfram Alpha) :
Pour une raison de symétrie évidente, on peut de borner à étudier l'octant défini par x, y ≥ 0 et x ≥ y
On calcule sans trop de difficulté, en multipliant par 8 les résultats trouvés dans cet octant, que l'aire gazonnée (bordure et zone centrale, en grisé sur la figure) vaut :
G = 2 (b–c) (4a+b+c) + 2(2a-c)²
tandis que l'aire totale, toujours en multipliant par 8 les résultats trouvés dans cet octant, vaut : A = 8ab + 2b²
Au moyen d'un tableur on peut rechercher les combinaisons donnant G = A/2 et satisfaisant les inégalités :
a < c ≤ 2a ≤ b
avec en outre, bien entendu, la condition b > c, faute de quoi la double inégalité c ≤ ||x| - a| + ||y|- a| ≤ b
donnerait une zone sans épaisseur.
On trouve une solution unique en valeurs entières de a, b, c qui satisfasse la condition de surface G < 200m², à savoir :
a = 4; b = 8; c = 5.
Elle satisfait bien la condition : a < c ≤ 2a ≤ b
L'aire gazonnée G vaut alors192 m² et l'aire totale A = 384 m².
Wolfram Alpha donne le dessin suivant :
