Un bien joli parterre
Problème D290 de Diophante
Ce paysagiste propose à Diophante de créer dans son jardin un parterre dont la bordure et une zone centrale sont gazonnées tandis que la partie fleurie occupe le reste. Avec un référentiel Ox,Oy dont l’origine O est le centre du parterre, les parties gazonnées sont définies par l’ensemble des points de coordonnées réelles {x,y}
(positives ou négatives ou nulles) obéissant à la double inégalité : c ≤ | |x| - a + | y|- a | ≤ b dans laquelle |z| désigne la valeur absolue de z et a, b et c sont des distances telles que 0 < c ≤ 2a ≤ b.
Diophante choisit les paramètres a, b et c en nombres entiers de mètres de sorte que la partie gazonnée et la partie fleurie occupent une même surface < 200m².
Déterminer a, b et c et représenter le dessin du parterre.
Solution
Notons V(x, y) la valeur | |x| - a | + | |y|- a | . Elle est paire en x et en y.
Pour x ≥ 0 et y ≥ 0 et a > 0, regardons les lignes V(x, y) = m.
Ci-dessus il apparaît en bleu le cas 0 < m < a ; en rouge le cas a < m < 2a et en vert le cas 2a < m. Dans ces trois cas, la valeur de m est la distance entre le centre du carré et l'un de ses sommets
D'où un schéma correspondant au parterre proposé, avec une bordure verte et un centre vert.
Un calcul simple nous donne la surface totale du parterre P = 2b ( 4a + b ) et la surface de la partie fleurie F = 8a ( 2c – a ).
L'égalité des surfaces des partie gazonnée et fleurie correspond à l'équation : 16ac = 8aa + 4ab + bb
Elle est du second degré en a et b et du premier en c. Elle admet une infinité de solutions réelles.
Avec les contraintes a, b, c entiers et F < 200, les nombres cherchés sont nécessairement petits.
De b (4a + b) < 200 et b ≥ 2a, il vient aa < 200/12, soit a ≤ 4.
Seule la solution a = 4, b = 8, c = 5, F = 192 convient.
D'où le parterre :
Nota : Tous les schémas, ont été obtenus avec de petits programmes en Python.
