660. Un nouveau Sisyphe ?

660. Un nouveau Sisyphe ?

Cinq jarres vides de 10 litres de capacité chacune sont placées aux coins d’une cour pentagonale.

Zig dispose d’un récipient de 5 litres et il en répartit le contenu comme bon lui semble dans les cinq jarres. Son objectif est de remplir complètement l’une au moins des cinq jarres mais chaque fois qu’il va remplir d’eau son récipient de 5 litres, Puce derrière son dos vide le contenu de deux jarres adjacentes. Qaund Zig a pu remplir une jarre, il reste à la surveiller sans s'occuper des autres.Zig peut-il arriver à ses fins ou devient-il un nouveau Sisyphe selon que Puce décide ou non de vider systématiquement deux jarres adjacentes dont le volume d’eau total est toujours le plus élevé.

Pour les plus courageux : que se passerait-il si la contenance exacte des cinq jarres était en réalité de 9,99 litres au lieu de 10 litres ?

Solution proposée par Jerôme Pierard 1^ère partie

On peut penser que la stratégie optimale consiste à remplir deux jarres non adjacentes de telle manière qu'elles contiennent la même quantité après remplissage.

Puce ne peut en vider qu'une seule et le contenu d'une des deux jarres continue à augmenter (mais de moins en moins vite jusqu'à plafonner) selon la suite suivante C_n1 =

2 5 C_n 

avec C ce qui ₀ donne C = 5 – _{n n}

2 2.5 .

Mais _n 2

2.5 n’atteint 0 que pour n infini. Zig est donc un nouveau Sisyphe.

Il existe toutefois un cas où Zig parvient à ses fins. Si Puce décide de vider systématiquement deux jarres adjacentes dont le volume total est maximum. Le tableau ci-après montre comment Zig parvient à remplir une jarre de 10 litre à l’issue de cinq opérations seulement.

2^èmepartie

Avec des jarres de 9,99 litres exactement, Zig est toujours assuré de parvenir à ses fins. On vérifie sur le tableau ci-après qu’au 9ème remplissage Zig vide l'intégralité des 5 litres de sa jarre dans celle déjà remplie de 4,99 litres.

n Ac te ur A B C D E C umul

0

ZIG 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 5,000 P UC E 1,000 1,000 1,000 0,000 0,000 3,000 1

ZIG 1,000 2,500 1,000 2,500 1,000 8,000 P UC E 0,000 0,000 1,000 2,500 1,000 4,500 2

ZIG 1,000 3,250 1,000 3,250 1,000 9,500 P UC E 0,000 0,000 1,000 3,250 1,000 5,250 3

ZIG 0,000 4,125 1,000 4,125 1,000 10,250 P UC E 0,000 0,000 0,000 4,125 1,000 5,125 4

ZIG 0,000 5,000 0,000 4,125 1,000 10,125 P UC E 0,000 5,000 0,000 0,000 0,000 5,000 5

ZIG 0,000 10,000 0,000 0,000 0,000 10,000 P UC E

n Ac teur A B C D E 0

ZIG 0 2,5 0 2,5 0

P UC E 0 0 0 0 0

1

ZIG 0 3,75 0 3,75 0

P UC E 0 1 0 3,75 0

2

ZIG 0 4,38 0 4,38 0

P UC E 0 2 0 4,38 0

3

ZIG 0 4,69 0 4,69 0

P UC E 0 3 0 4,69 0

4

ZIG 0 4,84 0 4,84 0

P UC E 0 4 0 4,84 0

5

ZIG 0 4,92 0 4,92 0

P UC E 0 5 0 4,92 0

6

ZIG 0 4,96 0 4,96 0

P UC E 0 0 0 4,96 0

7

ZIG 0 4,98 0 4,98 0

P UC E 0 0 0 4,98 0

8

ZIG 0 4,99 0 4,99 0

P UC E 0 0 0 4,99 0

9

ZIG 0 5 0 5 0

P UC E 0 0 0 5 0

10

ZIG 0 5 0 5 0

P UC E 0 0 0 5 0