Exercices
Exercice 1. SoientE un espace vectoriel réel,N1 et N2 deux normes sur E et B1, B2 les boules unités ouvertes associées à ces normes.
Montrer queN1=N2 si et seulement siB1=B2. Exercice 2. SoitE={u∈RN, X
|un|converge}.
Caractériser les suites(αn)n∈N∈RN telles que l'applicationN :u∈E7→X
n∈N
αn|un|soit une norme sur E.
Exercice 3. Soit nun entier supérieur ou égal à 2. La partie {(x, y, z)∈(Rn)3,(x, y, z)est liée}est-elle fermée ? Exercice 4. Soient a < bdeux réels etE=C0([a, b],R).On xeφ∈E et on pose
∀f ∈E, N∞(f) = sup
x∈[a,b]
|f(x|et N(f) =N∞(f φ).
1. À quelle condition surφ,N est-elle une norme sur E ?
2. À quelle condition surφ,N est-elle une norme équivalente àN∞? Exercice 5. SoitE=R[X]. Pour tout polynômeP =
n
X
k=0
akXk, on pose :
N∞(P) = sup
k∈[|0,n|]
|ak|, N1(P) =
n
X
k=0
|ak| N2(P) = v u u t
n
X
k=0
|ak|2 1. Montrer que ce sont trois normes sur E.
2. Examiner leur équivalence deux à deux.
Exercice 6. On munit E=R[X]des normes données par les relations kPk∞= sup
t∈[0,1]
|P(t)| et kPk1= Z 1
0
|P(t)|dt Comparer les normes
Exercice 7. Soient (E,k · k)un espace vectoriel normé, Aune partie non vide de E et k∈R∗+. Soit f :A→R une applicationk-lipschitzienne etg:x∈E7→ inf
y∈A{kkx−yk+f(y)}. Montrer queg est bien dénie et qu'on peut prolongerf parg surE. Montrer queg estk-lipschitzienne.
Exercice 8. SoitE un espace vectoriel normé etAune partie ouverte deE. Montrer queU = [
a∈A
B(a,1)est un ouvert.
Corection :
Soitx∈U. On peut trouvera∈Atel que x∈B(a,1)soit kx−ak61.
Aest ouvert, soit doncr >0 tel queB(a, r)⊂A. Montrons qu'alorsB(x, r)⊂U.
Soity∈B(x, r). On aky−xk< rdoncb=a+y−x∈B(a, r)⊂A. Orky−bk=kx−ak61doncy∈B(b,1), ce qui prouve que y∈U.
Ceci permet de conclure queU est un voisinage de chacun de ses points, soit un ouvert.
Exercice 9. Soit E = C1([0,1],R) et ϕ ∈ E telle que Z 1 0
ϕ(t) dt 6= 0. On pose, pour toute f ∈ E, N(f) =
|f(0)|+
Z 1 0
|f0(t)|dtetNϕ(f) =
Z 1 0
f(t)ϕ(t) dt
+ Z 1
0
|f0(t)|dt. Montrer queNetNϕsont des normes équivalentes sur E.
Correction :
N et Nϕsont bien des normes surE (laissé au lecteur/trice). SoitΦla primitive deϕnulle en1. Soitf ∈E. Une intégration par parties donne Z 1
0
f(t)ϕ(t) dt= [f(t)Φ(t)]10− Z 1
0
f0(t)Φ(t) dt =−f(0)Φ(0)− Z 1
0
f0(t)Φ(t) dt.
Par inégalité triangulaire dansR, on a donc
Z 1 0
f(t)ϕ(t) dt
6|f(0)Φ(0)|+
Z 1 0
f0(t)Φ(t) dt
6|f(0)| · |Φ(0)|+ Z 1
0
|f0(t)| · |Φ(t)|dt.
Φ est continue sur le segment [ 0 ; 1 ] donc bornée et atteint ses bornes. Notant M = kΦk∞, on obtient la majoration
Z 1 0
f(t)ϕ(t) dt
6M|f(0)|+ Z 1
0
M|f0(t)|dt=M N(f), et doncNϕ(f)6(M+ 1)N(f). Inversement,Φ(0) =
Z 0 1
ϕ(t) dt =− Z 1
0
ϕ(t) dt 6= 0, on peut donc diviser par cette quantité et écrire f(0) =
− 1 Φ(0)
Z 1 0
f(t)ϕ(t) dt− 1 Φ(0)
Z 1 0
f0(t)Φ(t) dt, et donc par inégalité triangulaire,|f(0)|6 1
|Φ(0)|
Z 1 0
f(t)ϕ(t) dt
+ 1
|Φ(0)|
Z 1 0
|f0(t)| |Φ(t)|dt6 1
|Φ(0)|Nϕ(f) + M
|Φ(0)|Nϕ(f). Et doncN(f)6
M + 1
|Φ(0)| + 1
Nϕ(f).
Ceci pour toutf ∈E, d'où l'équivalence des deux normes.
Exercice 10. Soit Eun espace vectoriel normé et f :
E → E
x 7→ x
1 +kxk . 1. Montrer quef est surjective deE sur la boule unité ouverte deE. 2. Montrer quef est lipschitzienne.
Exercice 11. Soit Eun espace vectoriel normé de dimension nie.
1. Montrer que les boules deE sont convexes.
2. SoitC une partie convexe deE. On suppose queCest dense dansE. Montrer queC=E : i) dans le cas où E=R; ii) dans le cas général.
Exercice 12. Python. On pose, pour(x, y)∈R2, N(x, y) = Z 1
0
|x−ty|dt. 1. Vérier que N est bien une norme sur R2.
2. Tracer la courbe de la fonction x7→N(x,1)pour x∈
−1 2,3
2
avec Python.
3. CalculerN(x,1)pour toutx∈R.
4. En déduire la valeur deN(x, y)pour tout(x, y)∈R2.
5. SoitCle cercle unité d'équation x2+y2= 1. Tracer la courbe de x7→N(x,p
1−x2)pourx∈[−1,1]avec Python. Estimer les valeurs desupN(C)et infN(C)à l'aide du tracé.
6. Déterminer la valeur exacte desupN(C). Correction
1. Séparation. Soit(x, y)∈R2 tel queN(x, y) = 0 = Z 1
0
|x−ty|dt.
La fonctiont7→ |x−ty|est continue, positive, d'intégrale nulle donc identiquement nulle, et donc nulle en0et en1 en particulier. Ce qui donnex= 0 =x−ydoncx=y= 0.
Homogénéité. Soit(x, y)∈R2et λ∈R.
On aN(λ(x, y)) =N(λx, λy) = Z 1
0
|λx−tλy|dt=|λ|
Z 1 0
|x−ty|dt=|λ|N(x, y). Inégalité triangulaire. Soit(x, y),(x0, y0)∈R2.
On aN((x, y) + (x0, y0)) =N(x+x0, y+y0) = Z 1
0
|x+x0−t(y+y0)|dt6 Z 1
0
|x−ty|+|x0−ty0|dt= N(x, y) +N(x0, y0).
2. import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt import scipy.integrate as integr import math as ma
def valeurNx1(x):
f=lambda t:abs(x-t)
return integr.quad(f,0,1)[0]
def dessin1():
X=np.linspace(-0.5,1.5,100) Y=[valeurNx1(x) for x in X]
plt.plot(X, Y) plt.show()
3. Pour toutx∈R, on aN(x,1) = Z 1
0
|x−t|dt.
Lorsque x60, on a∀t∈[ 0 ; 1 ], x−t60doncN(x,1) = Z 1
0
(t−x) dt= 1/2−x. Lorsque x>1, on a∀t∈[ 0 ; 1 ], x−t>0doncN(x,1) =
Z 1 0
(x−t) dt=x−1/2. Enn lorsque 0< x <1 on aN(x,1) =
Z x 0
(t−x) dt+ Z 1
x
(x−t) dt= 1/2−x+x2.
4. Lorsque y 6= 0, on a par homogénéité N(x, y) = |y|N(x/y,1), la valeur de N(x/y,1) étant donnée par la question précédente selon les casx/y60, x/y>1 ou0< x/y <1.
Et pour y= 0on aN(x, y) =|x|. 5. Lorsquex∈]−1 ; 0 ], on ax/p
1−x260doncN(x,p
1−x2=p
1−x2
1/2−x/p 1−x2
=p
1−x2/2−
x, encore valable pourx=−1. Lorsquex∈i
0 ;√ 2/2h
, on a0< x/p
1−x2<1doncN(x,p
1−x2=p
1−x2
1/2−x/p
1−x2+x2/(1−x2)
= p1−x2/2−x+x2/p
1−x2. Enn lorsque x∈h√
2/2 ; 1h
, on ax/p
1−x2 >1 doncN(x,p
1−x2 =p
1−x2 x/p
1−x2−1/2
= x−p
1−x2/2, encore valable pourx= 1.
def fonction(x):
if x<=0:
return ma.sqrt(1-x**2)/2-x elif x<=ma.sqrt(2)/2:
return ma.sqrt(1-x**2)/2-x+x**2/ma.sqrt(1-x**2) else:
return x-ma.sqrt(1-x**2)/2 def dessin2():
Z=np.linspace(-1,1,100) T=[fonction(x) for x in Z]
plt.plot(Z, T) plt.show()
On observe des valeurs de supN(C)de l'ordre de1,1et de infN(C)de l'ordre de 0,2.
6. L'étude des variations dex7→N(x,p
1−x2)montre qu'elle est croissante surh
−1 ;−p 4/5i
, décroissante surh
−p 4/5 ;αi
pour un certainα∈i 0 ;√
2/2h
, et croissante sur [α; 1 ]. Comme elle vaut 1 en −1 et en 1, son maximum est atteint en −p
4/5 (et son minimum en α) et vaut
√
5/2'1,118.
CommeN(−x,−y), le maximum précédent, calculé sur un demi-cercle, est aussi le maximum sur le cercle complet.
Exercice 13. SoientA, B∈Mp(R). On suppose
(AB)n→Op Montrer que
(BA)n→Op
Exercice 14. Soit (An)une suite de matrices inversibles de _Mp(K). On suppose
An →AetA−1n →B Montrer queA est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 15. Soit A∈Mp(C). On suppose que la suite(An)n∈Nconverge versB. Montrer queB est semblable à une matrice diagonale n'ayant que des 0 et des 1.
Exercice 16. Soit A ∈ Mn(R) une matrice antisymétrique telle que la suite (Ak)k∈N converge vers B dans _Mn(R).
Que dire de B?
Correction :M 7→M+MT etM 7→M−MT sont des endomorphismes linéaire deMn(R)donc sont continues (dimension nie).
L'image réciproque du fermé{0} étant un fermé par une application continue,Sn(R)etAn(R)sont des fermés de Mn(R).
Toute sous suite de(Ak)converge versB or
(A2k)∈Sn(R)Net(A2k+1)∈An(R)Ndonc leur limite communeB∈Sn(R)∩An(R) ={0}. Exercice 17. SurR[X]on dénitN1 etN2 par :
N1(P) =
+∞
X
k=0
|P(k)(0)|et N2(P) = sup
t∈[−1,1]
|P(t)|
1. Montrer queN1 etN2 sont deux normes surR[X]. 2. Les normesN1et N2 sont-elles équivalentes ?
Exercice 18. SoientE l'espace vectoriel des suites réelles bornées etF l'espace vectoriel des suites réelles dont la série associée est absolument convergente. Siu∈E, on poseNE(u) = sup
n∈N
|un|; siv∈F, on poseNeF(v) =
+∞
X
n=0
|vn|. 1. Quelle est la relation d'inclusion entreE etF? Ces espaces sont-ils de dimension nie ?
2. On note pourv ∈F,Tv:ξ∈E 7→
+∞
X
n=0
ξnvn ∈Ret pour u∈E, Teu: ˜ξ∈F 7→
+∞
X
n=0
ξ˜nun ∈R. Montrer que ces applications sont bien dénies, linéaires et lipschitziennes.
Exercice 19. Soit El'ensemble des(xn)n>0∈RNtelles que la série de terme généralx2n converge.
1. Montrer queE est un sous-espace vectoriel deRN.
2. Montrer que l'application qui à (xn)∈E associek(xn)k= (
+∞
X
n=0
x2n)1/2 dénit une norme.
3. SoitF: (xn)∈E7→x0∈R. L'applicationF est-elle continue ?
4. Si(xn)∈E, montrer que la suite de terme généralxn+xn+1est dans E. L'applicationG: (xn)n>0∈E7→
(xn+xn+1)n>0∈E est-elle continue ?
Exercice 20. Soit `∞ le sous-espace deCN formé des suites bornées. On munit `∞ de la norme inniek k∞. Si u= (un)∈`∞, on note ∆(u)la suite de terme généralun+1−un. Montrer que∆ est un endomorphisme continu de`∞.
Calculer|||∆|||.
Exercice 21. Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Une partie C de E est dite convexe si pour tout t∈[0,1]et pour tout(x, y)∈C2, tx+ (1−t)y∈C. Une applicationT deEdansE est dite ane si et seulement si pour toutt∈[0,1]et pour tout(x, y)∈E2, T(tx+ (1−t)x) =tT(x) + (1−t)T(y).
1. Soit C une partie convexe de E et T une application ane de E dans E. Montrer que pour tout p∈N∗, pour tout(t1, . . . , tp)∈[0,1]p tel que
p
X
i=1
ti= 1, pour tout(x1, . . . , xp)∈Cp,
p
X
i=1
tixi∈C et T(
p
X
i=1
tixi) =
p
X
i=1
tiT(xi).
2. SoientC un compact convexe non vide,T une application ane telle queT(C)⊂Ceta∈C. Soit(xn)n∈N la suite d'éléments de C dénie par ∀n ∈N, xn = 1
n+ 1
n
X
k=0
Tk(a), où Tk désigne la k-ième itérée de T. Montrer que la suite (xn)possède une suite extraite(xϕ(n))convergente dont la limite est l'élément de C noté x. Établir queT(x) =x.
3. Donner un exemple de couple (C, T) comme en (b) oùT possède un seul point xe. Même question avec plusieurs points xes.
4. SoientCun convexe compact non vide,T1, . . . , TN une famille d'applications anes commutant deux à deux telles que∀i∈[[1, N]], Ti(C)⊂C. Montrer que les applicationsTi possèdent un point xe commun.
Exercice 22. Soit E un espace vectoriel de dimension nie et(a, b)∈Rtel quea < b. Soit f : [a, b]37→K telle que∀(x, y)∈K2, x6=y⇒ kf(x)−f(y)k<kx−yk. Montrer quef possède un unique point xe.
Exercice 23. On munit E = C0([0,1],R)de la norme innie ∀f ∈ E, kfk∞ = max
[0,1] |f|. Soit T ∈ L(E,R). On suppose que∀f ∈E, f >0⇒T(f)>0. Montrer queT est lipschitzien.
Exercice 24. Soit A∈Mp(C). On suppose que la suite(An)n∈Nconverge versB. Montrer queB est semblable à une matrice diagonale n'ayant que des 0 et des 1.
Exercice 25. Montrer que E=
(x, y)∈R2/ 3 y
x 2
diagonalisable dansR
est un ouvert deR2. Exercice 26. Soit AetB deux parties non vides deR2.
On poseA+B={a+b, a∈A, b∈B}
1. On supposeA ouverte.Montrer queA+B est ouverte.
2. SiAetB sont fermées, a-t-on forcémentA+B fermée ? Exercice 27. PourP ∈Rn[X],on pose
||P||=
n
X
k=1
|P(1
k)|+|P(0)|et ||P||∞= sup
t∈[0,1]
|P(t)|.
Trouver les constantesC1et C2optimales telles que
∀P ∈Rn[X] C1||P||∞6||P||6C2||P||∞.
Exercice 28. Notons E l'espace des fonctions continues de[0,1]dansR. On note ||.||1,||.||2 et ||.||∞ les normes de la convergence en moyenne, de la convergence quadratique et de la convergence uniforme.
Pour toutn∈N∗, on fontefn l'élément deE déni par les conditions suivantes : fn(t) = 2ntpourt∈[0, 1
2n], fn(t) =−2nt+ 2pourt∈[ 1 2n, 1
n]etfn(t) = 0pourt∈[1 n,1]
1. Représenter le graphe defn 2. Déterminer les normes defn
3. Que pouvez vous conclure ? Exercice 29. Soit p∈N∗
∀n∈N∀x= (x1, ..., xn)∈Kn ||x||p= (
p
X
i=1
|xi|p)1p Montrer que
∀x∈Kn, lim
p→+∞||x||p=||x||∞ Exercice 30. Soit E=R[X]. Pour tout polynômeP =
n
X
k=0
akXk, on pose :
N∞(P) = sup
k∈[|0,n|]
|ak|, N1(P) =
n
X
k=0
|ak| N2(P) = v u u t
n
X
k=0
|ak|2 1. Montrer que ce sont trois normes sur E.
2. Examiner leur équivalence deux à deux.
Exercice 31.
l1(C) ={(xn)∈CN|X
|xn|converge}, l2(C) ={(xn)CN||X
|xn|2converge} l∞(C) ={(xn)∈CN|(xn)bornée}
N1(x) =
∞
X
n=0
|xn|, N2(x) = (
∞
X
n=0
|xn|2)12 N∞=supn∈N|xn|
1. Montrer queN1(respN2,N∞) est une norme surl1(C)(respl2,l∞) 2. Montrer que
l1(C)⊂l2(C)⊂l∞(C) φ:
l1(C) → C (xn) 7→
∞
X
n=0
xn
3. Etudier la continuité deφpour les diérentes normes ci-dessus.
Exercice 32. On se place dans un espace vectoriel muni de l'une des normes k.k1, k.k2 ouk.k∞, et on note Ala matrice
1 0 0
0 1/2 p
0 0 1/2
et la matrice de l'endomorphisme deR3 canoniquement associé àf. 1. Chercherptel que ∀x∈R
3x2−4px+ 3−4p2>0 2. En déduire les ptels que pour toutX ∈R3,kAXk6kXk. 3. Déterminer une expression simple deAk
4. Déterminer la limite quandntend vers+∞de
n
X
k=0
fk(x).
