NOM : ……… □ 0,25 point Correction – SDC suites arithmétiques-géométriques
QCM /3
1. Réponse A
(𝑢
#) est arithmétique de raison 𝑟 =
2 et de premier terme 𝑢' = 3.𝑢
)'= 𝑢
'+ 𝑛𝑟 = 3 + 10 × 2 = 23
□□
2. Réponse D
(𝑢
#) est géométrique de raison 𝑞 =
2 et de premier terme 𝑢'= 3.𝑢
)'= 𝑢
'× 𝑞
#= 3 × 2
)'= 3072
□□
3.
Réponse B
(𝑣
#) est arithmétique de raison 𝑟 donc 𝑣
3= 𝑣
4+ (7 − 4) × 𝑟,
donc 5 = 4 + 3𝑟 d'où 𝑟 =
)8. □□
4.
Réponse D
(𝑤
#) est géométrique de raison 𝑞 = 5, donc 𝑤
8= 𝑤
'× 𝑞
#d'où 15 = 𝑤
'× 5
8. Donc 𝑤
'=
)::;=
<:8□□
5. Réponse A
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =#(#>))
< =)
<(𝑛<+ 𝑛)
□□
6. Réponse C
1 + 3 + 3<+ ⋯ + 3)<=)?8@;
)?8 = 797 161
□□
Exercice 1 /3
1. Pour tout
entier naturel 𝑛, 𝑢#= 4𝑛 − 7. On reconnait la forme explicite 𝑢# = 𝑟 × 𝑛 + 𝑢' de la suite arithmétique (𝑢
𝑛) de raison 𝑟 = 4 et de premier terme 𝑢'= −7.□□
□□
2.
Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣#= )
8O . Donc 𝑣'= )
8P= 1.
On a donc 𝑣#>)= )
8OQ@=)
8× )
8O=)
8𝑣#, on reconnait la relation de récurrence de la suite géométrique
(𝑣
#) de raison
)8et de premier terme
𝑣'= 1 .□□
□□
3.
Pour tout entier naturel 𝑛, par 𝑤#= 5𝑛<− 1.
Donc 𝑤
'= −1 𝑤
)= 4
𝑤
<= 5 × 2
<− 1 = 19
Ainsi on a 𝑤
)= 𝑤
'+ 5 mais 𝑤
<≠ 𝑤
)+ 5 donc cette suite n'est pas arithmétique.
De plus, 𝑤
)= 𝑤
'× (−4) mais 𝑤
<≠ 𝑤
)× (−4), donc cette suite n'est pas géométrique.
□□
□□
Exercice 2 /3,5
1. Chaque mètre creusé coûte 20 € de plus que le mètre précédent, donc 𝑢
#>)= 𝑢
#+ 20.
Pour 𝑛 un nombre entier naturel supérieur ou égal à 1, la suite (𝑢
#) est arithmétique de raison 𝑟 =
20 et de premier terme 𝑢) = 100.□
□□□
2.
𝑢#= 𝑟 × (𝑛 − 1) + 𝑢)Donc 𝑢8'= 20 × (30 − 1) + 100 = 680
□□
□□
3.a)
𝑢)+ 𝑢<+ ⋯ + 𝑢8' est la somme des 30 premiers termes de la suite arithmétique (𝑢#) de raison 20 et de premier terme 𝑢)= 100.
𝑢)+ 𝑢<+ ⋯ + 𝑢8'= 30 × U𝑢)+ 𝑢8'
2 V = 15 × 780 = 11 700.
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3.b) Pour creuser un puit de 30 mètres, il faut prévoir un coût total de 11 700 euros. □□
Exercice 3 /6,5
1.a)
𝑟'= 40 000
Après 5% de baisse la masse de déchets en 2018 est égale à
40 000 × X1 −)'': Y = 40 000 × 0,95 = 38 000. Pour trouver la masse de déchets produite par l'entreprise en 2018, nous devons ajouter ces 38 000 tonnes aux 200 tonnes de nouveaux déchets.
Ainsi 𝑟)= 38 200.
De même,
𝑟<= 38 200 × 0,95 + 200 = 36 490.□□
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1.b)
𝑟# est la quantité, en tonnes, des déchets rejetés pour l'année (2017 + 𝑛).
L'année qui suit, la masse de déchets baisse de 5 %, nous devons effectuer l'opération : 𝑟#× 0,95.
Mais les nouveaux investissements ont pour conséquence, la production de 200 tonnes de déchets,
ainsi en
(2017 + 𝑛 + 1), 𝑟#>)= 0,95𝑟#+ 200.□□
2.
𝑠#>)= 𝑟#>)− 4000 = 0,95𝑟#+ 200 − 4000 = 0,95𝑟#− 3800 Or 𝑟#= 𝑠#+ 4000
Donc 𝑠#>)= 0,95(𝑠#+ 4000) − 3800 = 0,95𝑠#+ 0,95 × 4000 − 3800 = 0,95𝑠#. Donc la suite (𝑠#) est géométrique de raison 0,95,
et de premier terme 𝑠'= 𝑟'− 4000 = 40 000 − 4 000 = 36 000.
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3.
(𝑠#) est géométrique de raison 0,95, de premier terme 𝑠'= 36 000Donc 𝑠#= 𝑠'× 𝑞#= 36000 × 0,95#, pour tout n entier naturel.
